Seja S o subespaço de M 2 ( R ) gerado pelas matrizes:

4   3   2   1   e 3   2   1   0  

Suponha que α ,   β ,   γ ,   δ   ∈   R sejam tais que α x   +   β y   +   γ z   +   δ t   =   0 , para qualquer x   y   z   t   ∈   S . Pode-se afirmar que:

( a )   β   +   γ   =   0 ;

( b )   α   +   β   +   γ   +   δ   =   0 ;

( c )   2 α   +   γ   =   0 ;

( d )   β   +   γ   +   δ   =   0 ;

( e )   α   +   β   +   γ   =   0 .

Passo 1

Salve galera! Vamos lá resolver essa questão? Primeira coisa importante na questão é a definição de S , que é um subespaço de M 2 ( R ) (ou seja, o conjunto das matrizes 2 x 2 compostas por números reais). E ainda por cima, ainda nos dá a bases na qual S é gerada:

4   3   2   1   e 3   2   1   0  

Como o subespaço é gerado pelas matrizes dadas, e a matriz que a gente desconhece:

x   y   z   t  

faz parte do subespaço de S , então essa matriz desconhecida pode ser descrita como um produto de dois escalares desconhecidos, pelas bases do espaço S , multiplicando cada vetor. Dessa forma:

a . 4   3   2   1   + b . 3   2   1   0   = x   y   z   t  

Mas olha, x   y   z   t   é uma matriz genérica do subespaço S , beleza?

A questão nos fala que existem quatro constantes reais, α ,   β ,   γ ,   δ que fazem a relação abaixo ser verdadeira para qualquer matriz de S

α x   +   β y   +   γ z   +   δ t   =   0

Daí, precisamos encontrar alguma relação entre essas constantes.

Showzinho, vamos continuar desenvolvendo no próximo passo!

Passo 2

E aqui temos justamente um sistema de equações! Pra montar ele, vamos relacionar os termos que pertencem a mesma posição. Por exemplo, olhando somente para x , que está na posição a 11 (primeira linha e primeira coluna), temos:

4 a   +   3 b   =   x   ( I )

E por aí vai. Montando o sistema de equações pra todos os casos:

{ 4 a + 3 b = x   3 a + 2 b = y   2 a + b = z   a = t  

Belezura. Mas o enunciado nos diz que:

α x   +   β y   +   γ z   +   δ t   =   0

Então vamos substituir cada variável pelo valor que achamos no nosso sistema. Portanto:

α ( 4 a + 3 b ) +   β ( 3 a + 2 b )   +   γ ( 2 a + b )   +   δ ( a )   =   0

Separando em moldes de a e b :

a ⋅ 4 α   +   3 β   +   2 γ   +   δ +   b ⋅ ( 3 α   +   2 β   +   γ )   =   0

Passo 3

Showzinho. Daqui precisamos raciocinar o seguinte:

Se:

a ⋅ 4 α   +   3 β   +   2 γ   +   δ +   b ⋅ ( 3 α   +   2 β   +   γ )   =   0

Significa que os dois termos que multiplicam os escalares a e b , são simultaneamente iguais a 0 . Ou seja:

{ 4 α   +   3 β   +   2 γ   +   δ = 0   3 α   +   2 β   +   γ = 0  

E aqui temos mais um sistema pra resolver (Me desculpe meus lindos, prometo que esse é o ultimo).

Passo 4

Daorinha, agora vamos resolver esse sistema. Você tem uma dica que vai ajudar a gente resolver bem rápido? Vamos multiplicar a segunda equação por ( - 1 ) e utilizar o método da soma para resolver o sistema. Logo:

{ 4 α   +   3 β   +   2 γ   +   δ = 0   - 3 α -   2 β -   γ = 0   α   +   β   +   γ + δ   = 0

E encontramos aí uma relação. E essa relação, é a mesma conclusão que a questão nos entrega no item b).

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

Item e ) α   +   β   +   γ   = 0

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão