Considere as seguintes afirmações:

I   O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real A m × n são subespaços, respectivamente, do R n e do R m , e suas dimensões são iguais.

I I W = x , y ∈ R 2 x + 2 y x - y = 0 é subespaço do R 2 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Ela é de fato, verdadeira. Sabemos que o espaço coluna (imagem da matriz) e o espaço linha (imagem da transposta) sempre serão subespaços vetoriais.

Além disso, sabemos que a imagem se encontra no contra-domínio da matriz. Sendo assim temos:

A m × n : R n → R m

A m × n T : R m → R n

Logo, o espaço coluna (imagem de A ) se encontra no R m e o espaço linha (imagem de A T ) se encontra no R n , assim como diz a afirmativa.

Por fim, também sabemos que suas dimensões sempre serão iguais. Essa afirmativa está correta.

Passo 2

Agora a I I

O primeiro passo é escrevermos o termo geral de W . Então vamos entender a condição do conjunto:

x + 2 y x - y = 0       ⇒ x + 2 y = 0 ⇒ x = - 2 y ⇒ x - y = 0 ⇒ x = y            

Então podemos ter vetores de duas formas em W :

y , y = y 1,1

o u

- 2 y , y = y - 2,1

Esse o u é importante! Não se confunda com o espaço gerado por esses dois vetores que encontramos! Os elementos de W são múltiplos de um desses vetores. Para W ser um subespaço ele deve ser fechado para soma e para o produto, além de conter o vetor nulo. Vamos testar para a soma:

1,1 + - 2,1 = - 1,2

Po - 1,2 com certeza não faz parte de W então ele não é um subespaço vetorial do R 2 .

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão