Enunciado

Considere o conjunto de vetores

V = x , y ∈ R 2 y = x 2 ,

com as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = x 1 + x 2 , x 1 + x 2 2

k x , y = k x , k 2 x 2

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) V é um espaço vetorial, mas não é um subespaço de R 2 .

( b ) A soma não possui elemento neutro.

( c ) V é um subespaço vetorial de R 2 .

( d ) A soma não é associativa.

Passo 1

a Po, provar que é um espaço vetorial é um saco né? Vamos ver as outras opções e se todas forem falsas essa é a certa ;)

Passo 2

b Vamos tentar achar o elemento neutro da soma. A primeira coisa que vem na cabeça é o 0,0 né? Vamos testar:

x , y + 0,0 = x + 0 , x + 0 2

x , y + 0,0 = x , x 2

Po, deu diferente né? Não tão rápido rapaz, olha a definição desse conjunto!! É o conjunto de vetores do R 2 cujo y = x 2 ! Isso quer dizer que deu igual sim:

x , y + 0,0 = x , y

Então tem elemento neutro da soma.

Passo 3

c Pra ser um subespaço tem que estar fechado para soma e para o produto por escalar. E eu já vou dar spoiler pra vocês que ele é sim fechado pra soma e pro produto por escalar! Ah, então ele é subespaço, essa é a certa. Só que não!

Tem um detalhezinho pra pegar vocês aqui. Repare que o R 2 sempre terá as operações usuais. Se trocar as operações não é mais o R 2 né :p. Mas o nosso conjunto V tem operações diferentes! Então ele nunca será subespaço do R 2 já que eles não têm as mesmas operações! Essa é falsa!

Passo 4

d Vamos ver se essa é verdade. Se liga:

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 + x 3 , y 3 = x 1 , y 1 + x 2 , y 2 + x 3 , y 3

x 1 + x 2 , x 1 + x 2 2 + x 3 , y 3 = x 1 , y 1 + x 2 + x 3 , x 2 + x 3 2

x 1 + x 2 + x 3 , x 1 + x 2 + x 3 2 = x 1 + x 2 + x 3 , x 1 + x 2 + x 3 2

Certinho, então ela é sim associativa! Essa é falsa também.

Passo 5

Po, só sobrou a a né? Já vimos na c que ele não é subespaço coisa nenhuma. E como essa é a última que sobrou chegamos à conclusão de que ele é um espaço vetorial sem precisar testar aquele monte de axiomas!

Resposta

Letra ( a )

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados