Sejam M 2 × 2 o espaço das matrizes 2 × 2 , e H = 2,3 o espaço gerado pelo vetor 2,3 . Considere as afirmativas:

I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A = H , das matrizes cujo núcleo é igual a H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

I I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A ⊇ H , das matrizes cujo núcleo contém H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Pode-se afirmar que:

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é falsa e I I é verdadeira

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Primeiramente, o que esse subconjunto precisa ter para ser um subespaço? Bom, ele precisa ter o elemento nulo! A matriz nula 0 0 0 0 tem o núcleo igual à 2,3 ? Não!! O núcleo dela é o R 2 inteiro! Então só aí já vemos que essa é falsa já que o subconjunto não contém o elemento nulo.

Afirmativa I I :

Agora temos o subconjunto que contém H . Opa, então dessa vez o subconjunto contém o elemento nulo! Já que o núcleo de 0 0 0 0 é o R 2 , ele contém H . Mas não acaba por aí! Precisamos ver se ela é fechada para soma e para o produto por escalar.

Ta, pensa comigo agora. Se o núcleo da matriz tem que conter H (uma reta) quais podem ser os núcleos possíveis? Podem ser o próprio H ou o R 2 inteiro né? É o único jeito de conter H ! Então vamos analisar essas duas possibilidades:

Bom, a única matriz que tem como núcleo o R 2 inteiro é a matriz nula 0 0 0 0 . Se a somarmos com qualquer outra matriz do subconjunto vai dar a própria matriz, então é fechado para soma. E se multiplicarmos ela por um escalar, continua ela mesma, então é fechado para o produto por escalar.

Falta analisar as matrizes que tem H como núcleo! Seja v ∈ H , e A , B duas matrizes que pertencem ao nosso subconjunto, temos:

A v = 0

B v = 0

Se somarmos as duas matrizes teremos:

A + B v = A v + B v = 0

E se fizermos o produto por escalar:

λ A v = λ A v = 0

Ou seja, nos dois casos, elas continuam com o núcleo contendo H !

Então, chegamos à conclusão de que essa é verdadeira! O subconjunto é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão