Seja U = 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 , um subespaço vetorial de R 3 e a x + b y + z = 0 uma equação de U, isto é

U = x , y , z ∈ R 3     a x + b y + z = 0 } .

Então b é igual a:

Passo 1

Falaaa, blz??? Vamos começar essa questãozinha lembrando o seguinte conceito:

Quando temos que U = 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 estamos dizendo que o espaço vetorial é gerado pelos vetores 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 . Em outras palavras, todo cara que mora em U é da forma:

v → = x , y , z = α 2,1 , - 1 +   β ( 1,0 , - 2 )

Passo 2

Agora vamos notar que como U é gerado por dois vetores, U é um plano em R 3 , além disso sua equação, pelo enunciado, é do tipo:

a x + b y + z = 0

Passo 3

Quando temos um plano do tipo a x + b y + z = 0 , sabemos que o vetor ( a , b , 1 ) é normal ao plano. Além disso, os vetores 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 estão contidos no plano. Como temos dois vetores contidos no plano, podemos achar um vetor normal aos dois, ou seja, achamos ( a , b , 1 ) .

Fazendo o produto vetorial:

2,1 , - 1 ×   1,0 , - 2 =   i j k 2 1 - 1 1 0 - 2 = i 1 - 1 0 - 2 - j 2 - 1 1 - 2 + k 2 1 1 0 = ( - 2,3 , - 1 )

Agora basta ver que o vetor normal ao plano, pela equação, é ( a , b , 1 ) e pelo produto vetorial, o vetor normal aos dois é ( - 2,3 , - 1 ) . Mas veja que (2,-3,1) continua perpendicular aos 2, pois é o vetor ( - 2,3 , - 1) no sentido contrário. Logo:

a , b , 1 = 2 , - 3,1   ∴ b = - 3

Outra forma de olhar para o parágrafo acima é:

a x + b y + z = 0 =   - a x - b y - z

Daí, nesse caso teríamos:

- 2,3 , - 1 = ( - a , - b , - 1 )

Daria o mesmo resultado.

Resposta

b = - 3

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão