QI-40%) Verifique se o conjunto V   =   { ( x , y ) l   x ,   y   e   R ,   c o m   y   <   0 }   é um espaço vetorial com as operações de adição e a multiplicação por um escalar assim definidas:

( x 1 , y 1 )   +   ( x 2 , y 2 )   =   ( x 1   +   x 2 , y 1 | y 2 | )

α ⊙ ( x 1 , Y 1 )   =   ( a x 1 ,   - - Y 1 α )  

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos verificar as condições de um espaço vetorial.

As condições necessárias são:

Associatividade da adição →   u →   +   ( v →   +   w → )   =   ( u →   +   v → )   +   w →

Comutatividade da adição →   u → + v → = v → + u →

Elemento identidade da adição → u → + 0 = u →

Elemento inverso da adição → u → + v → = 0 ,     d e v e   e x i s t i r   u m   v →   p a r a   t o d o   u →   t a l   q u e   a   s o m a   d e l e s   s e j a m   n u l a s .

Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação do corpo → a b v → = a b v →

Elemento identidade da multiplicação por escalar   → v → ⋅ 1 = v →

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores

→ a v → + w → = ( a v → + b w → )

Distributividade da multiplicação por escalar em relação a adição do corpo → v → a + b = a v → + b v →

Passo 2

Precisamos testar todas estas condições para atestar que o conjunto V realmente seja um espaço vetorial, vamos relembrar as definições de soma e multiplicação por escalar neste suposto conjunto vetorial:

v → + w → = v → x v → y + w → x w → y = v → x + w → x v → y | w → y |

E a multiplicação por um escalar a :

a v → = a v → x v → y = a v → x - - v → y a

Passo 3

Vamos começar pelos que normalmente dão mais “problema”, pois caso um esteja errado já podemos parar de verificar as propriedades:

Comutatividade da adição →   u → + v → = v → + u → :

v → x v → y + w → x w → y = v → x + w → x v → y | w → y |

w → x w → y + v → x v → y = w → x + v → x w → y | v → y |

Podemos dizer que v → x + w → x v → y | w → y | = w → x + v → x w → y | v → y | ?

Bem para o x temos que:

v → x + w → x = w → x + v → x

E como a ordem da soma não altera o resultado essa igualdade é verdadeira

E no caso:

v → y w → y = ? w → y v → y

Vamos pensar em números, caso v y = 1   e w y = - 2 , assim teríamos que:

1 - 2 = ? - 2 1

1 ⋅ 2 = ? - 2 ⋅ 1

2 ≠ - 2

Assim concluímos que o conjunto V não é um espaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão