Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

(a) Seja W um subespaço de V , contendo v . Se 2 v ∈ W ⊥ , então v é o vetor nulo.

Passo 1

Faaala pessoal!

Aqui vamos ter que fazer demonstração ok?

Mas vai ser bem simples, prometo! Vamos lá

Temos um vetor v que pertence ao subespaço W

E aí temos um outro vetor 2 v que pertence ao complemento ortogonal de W

Será que esse v só pode ser o vetor nulo ou pode ser algum outro vetor? É isso que vamos ver aqui :P

Sabemos que os vetores do complemento ortogonal W ⊥ devem ser ortogonais aos vetores de W

Ou seja, eles devem ter produto interno igual a 0!! Vamos partir disso ok?

Passo 2

Seja v = a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , temos que 2 v vai ser:

2 ∙ v = 2 a 1 , 2 a 2 , 2 a 3 , … , 2 a n

Como v está em W e 2 v está em W ⊥ , o produto interno entre eles deve ser 0 :

v ∙ 2 v = 0

a 1 , a 2 , a 3 , … , a n . 2 a 1 , 2 a 2 , 2 a 3 , … , 2 a n = 0

Então:

2 a 1 2 + 2 a 2 2 + 2 a 3 2 + … + 2 a n 2 = 0

Cara, esse produto interno deu simplesmente as coordenadas ao quadrado e multiplicadas por 0

Ou seja, temos uma soma de vários valores positivos! A única forma de isso dar 0 é se todos esses números valerem 0 , ou seja

a 1 = a 2 = a 3 = … = a n = 0

Logo, o vetor v só pode ser:

v = ( 0,0 , 0 , … , 0 )

O vetor nulo!

Passo 3

Basicamente, nesse exercício descobrimos que 2 vetores paralelos não podem estar em conjuntos ortogonais, a não ser que seja o vetor nulo, fechou?

Resposta

V e r d a d e i r o

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão