Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v + w = v + w se, e somente se, v e w são linearmente dependentes;

I I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v , w = v w se, e somente se, v = 0 ou existe λ ≥ 0 tal que w = λ v ;

I I I   para quaisquer v , w ∈ V e qualquer subespaço S   de V , vale que se v , w = 0 e w ∈ S ⊥ , então v ∈ S

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c ) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaaa, beleza?? Bora para mais um probleminha dessa prova. Vamos analisar a primeira afirmação:

‖ v + w ‖ = ‖ v ‖ + ‖ w ‖   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   v   e   w   s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s ;

Essa afirmação é falsa, basta tomarmos v = - w , tal que v ≠ 0 , veja que:

v + w = 0

Mas v + w = 2 ‖ v ‖ ≠ 0 , por isso a afirmação é falsa.

Passo 2

E agora bora para a próxima afirmaçãozinha.

v a l e   q u e   v , w = v w   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   v = 0   o u   e x i s t e   λ ≥ 0   t a l   q u e   w = λ v ;

Bom, nessa aqui a gente pode pensar no seguinte, temos que v , w = v w c o s θ

Dessa equação vemos que se c o s θ = 1 ou ainda, que c o s θ = - 1 a equação é verdadeira.

Mas se c o s θ = 1 , temos que θ = 0 e por isso, w = λ v , com λ ≥ 0 , pois são paralelos. O que está de acordo com a afirmação, mas temos um problema quando analisamos o outro caso, bora lá:

Se c o s θ = - 1 , temos que w = λ v , mas com λ ≤ 0 , ou seja, eles são paralelos com sentidos opostos. E nesse caso temos que ocorre v , w = v w , mas w = λ v , mas com λ ≤ 0 , mostrando que a afirmação é falsa.

Passo 3

E agora bora para última afirmaçãozinha, mesmo já sabendo a resposta, pois só sobrou a possibilidade de todas erradas, mas vamos lá:

s e   〈 v , w 〉 = 0   e   w ∈ S ⊥ ,   e n t ã o   v ∈ S

Essa afirmação é falsa, pois para um vetor estar no complemento ortogonal de S, ele deve ser ortogonal a todos vetores de S, porém caras de S ⊥ podem ser ortogonais entre si, bora ver isso:

Vamos tomar V = R 3 ; S = ( 1,0 , 0 ) e S ⊥ = [ 0,1 , 0 , 0,0 , 1 ]

Veja que podemos tomar w = 0,1 , 0   e v = 0,0 , 1   , nesse caso temos que:

v , w = 0 ,     w , v ∈ S ⊥    

Ou seja, a afirmação é falsa.

Essa questão é típica de ler a alternativa e tentar entender o que está rolando, para termos uma motivação se vale pensar num contraexemplo, caso seja uma afirmação falsa ou como provar caso seja verdadeira, bora para a próxima?

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão