Considere a matriz

A =   2 1 0 - 1

e seja S o subespaço de M 2 ( R ) definido por:

S = { B   ∈   M 2 :     B A = A B } .

Temos que a dimensão de S é igual a:

(a) 2;

(b) 3;

(c) 4;

(d) 1;

(e) 0.

Passo 1

Salve galera! Vamos lá resolver essa questão. Como o nosso objetivo é descobrir a quantidade de dimensões de S , precisamos escrever S explicitamente pra sabermos em quantos termos diferentes ela é descrita. A questão nos entrega que:

S = { B   ∈   M 2 :     B A = A B } .

E aqui surge uma relação entre uma matriz genérica B e a matriz A . Mas eu te pergunto: o que muda quando você muda os termos de posição dentro de uma multiplicação de matrizes? Simplesmente tudo! Isso muda a forma em como vamos escolher colunas ou matrizes para multiplicarmos dentro da matriz.

Para isso utilizaremos uma matriz genérica B = a b c d para ver como ela se comporta ao relacionarmos com a matriz A no subespaço vetorial.

Passo 2

Temos então que, ao substituir os termos que já sabemos de A com a matriz genérica B : B A = A B . Logo:

a b c d . 2 1 0 - 1 = 2 1 0 - 1 . a b c d

Desevolvendo a multiplicação:

2 a a - b 2 c c - d = 2 a + c 2 b + d - c - d

Passo 3

Tranquilo, encontramos uma relação entre 4 variáveis:

a ,   b ,   c ,   d

Ou seja, a dimensão de S é igual a 4? ERRADO! Ainda não sabemos se essas 4 variáveis é o menor número de variáveis possível para descrever as matrizes. Para sabermos isso, vamos atras de algum sistema que relacione as 4 variáveis. Como as matrizes são iguais, podemos igualar os elementos.

Nós é ingual

Só que diferente

Assim, temos:

Do primeiro elemento:

2 a     =   2 a   +   c

c   =   0

Do segundo elemento:

2 a   –   b   =   2 b   +   d

d   =   2 a   –   3 b

Dessa forma, conseguimos substituir de volta nas matrizes, Obtendo:

2 a + c 2 b + d - c - d = 2 a + 0 2 b +   2 a - 3 b 0 - ( 2 a - 3 b )

2 a + 0 2 b + ( 2 a   –   3 b ) 0 - ( 2 a   –   3 b ) =   2 a 2 a - b 0 - 2 a + 3 b

Passo 4

Agora vem a parte tranquila: como percebemos que a matriz

2 a 2 a - b 0 - 2 a + 3 b

Esstá em função somente de a e b , significa que ela só tem 2 graus de liberdade, ou seja, duas dimensões. Portanto, S possui somente 2 dimensões. Logo, a resposta da questão está no item a).

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

Item A ) 2;

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão