O que NÃO É verdadeiro para subespaços W de um espaço vetorial V ?

( a ) Qualquer combinação linear de n vetores de W também é um vetor de W .

( b ) Se S = v 1 , … , v n é uma base de V , então S sempre conterá uma base para W .

( c ) dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W

( d ) O espaço gerado por W é igual a W .

Passo 1

Vamos começar pelas mais fáceis! Repare que a a e a d dizem a mesma coisa com outras palavras! Se qualquer combinação de n vetores é simplesmente o espaço gerado por eles. Então dizer que qualquer combinação linear de n vetores de W também é um vetor de W e dizer que o espaço gerado por W é igual a W é a mesma coisa!

Você poderia dizer que como não podemos ter duas opções certas essas duas estão fora da jogada, mas vamos pensar um pouco. Para um subconjunto ser um subespaço ele tem que ser fechado para soma e para o produto por escalares, além de ter o elemento nulo, é claro.

Bom, o que estamos fazendo quando somamos vetores e multiplicamos eles por escalares? Estamos combinando linearmente eles! Então a a e a d simplesmente enunciam duas condições de subespaços vetoriais, logo são verdadeiras.

Passo 2

Essa c foi dada né? Sabemos que se W é subespaço de V então sua dimensão está limitada pela dimensão de V :

dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W

Essa tá certa.

Passo 3

b Bom, só sobrou essa letra então tem que ser a errada. Na prova você marcaria ela e passaria para a próxima, mas vamos ver porque ela tá errada. Presta atenção que essa é meio traiçoeira.

A primeira vista, você poderia pensar que faz todo sentido que se S é uma base de V , ele também contém uma base de W que é subespaço de V , mas vou te provar que é falsa com um exemplo!

Imagine que V é o R 3 . Nesse caso podemos definir a base S como:

S = 1,1 , 0 , 0,1 , 1 , 1,0 , 1

Concorda? Temos 3 vetores L I que pertencem ao R 3 então eles formam uma base. Beleza, agora vamos dizer que W é o plano x y ! Que também pode ser representado por z = 0 .

Para gerar um plano, precisamos de dois vetores desse plano, ou seja, dois vetores com a coordenada z = 0 . No entanto na nossa base S não temos dois vetores com z = 0 ! Isso quer dizer que não existe uma base de W em S !!

De fato, podemos gerar facilmente uma base para W combinando os vetores de S , mas não é isso que essa alternativa afirma! Então ela é falsa.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão