Considere os seguintes subespaços do espaço das matrizes reais 3 × 3 : S = A ∈ M 3 R : A t = A e N = a i j ∈ M 3 R :   φ A = 0 , onde φ A = 0 é a soma de todas as entradas da matriz A. Então podemos afirmar que a dimensão de N ∩ S é igual a

a )   4

b )   5

c )   9

d )   6

e )   7

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Bora começar essa questão escrevendo quais são os elementos desses subespaços para entender melhor o que podemos fazer, mas em tese basta acharmos a base de N ∩ S e ver quantos termos ela possui.

u ∈ S → u = a b c b d e c e f ,     a , b , c , d , e , f ∈ R

  v   ∈ N   → v = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ,     ∑ j , i a i j = 0

Ou seja, temos que uma matriz x ∈ N ∩ S será uma matriz do tipo:

x = a b c b d e c e f ,   c o m   a + 2 b + 2 c + 2 e + d + f = 0

Passo 2

Podemos escrever de forma um pouco melhor, que:

N ∩ S = A ∈ M 3 R   :   A = A t   e   a i j = a j i   c o m   i , j = 1,2 , 3

Passo 3

Agora, basta acharmos uma base desse subespaço para descobrir sua dimensão:

Vamos tomar uma matriz qualquer desse subespaço:

x = a b c b d e c e f ,   c o m   a + 2 b + 2 c + 2 e + d + f = 0

x = - 2 b + 2 c + 2 e + d + f b c b d e c e f

x =   b - 2 1 0 1 0 0 0 0 0 + c - 2 0 1 0 0 0 1 0 0 + d - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 + e - 2 0 0 0 0 1 0 1 0 + f - 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Ou seja:

N ∩ S = - 2 1 0 1 0 0 0 0 0 , - 2 0 1 0 0 0 1 0 0 , - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , - 2 0 0 0 0 1 0 1 0 , - 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Portanto, como a base possui 5 elementos, a dimensão é 5

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão