Dizemos que duas matrizes A ,   B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

a   Mostre que C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) .

Passo 1

Letra ( a )

Para verificar se C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) temos que usar o teorema:

Sabendo que, que o elemento do nossos conjunto é o B , então devemos usá-lo nas contas.

Passo 2

Se B = 0 , ou seja, se B é a matriz nula, satisfaz as condições de C ( A ) ??

A ⋅ B = 0 = 0

B = 0 ⋅ A = 0

Como satisfaz as condições do conjunto, então 0 ∈ C ( A ) .

Se B 1 ,   B 2 ∈ M 2 × 2 ( R ) , então B 1 + B 2 ∈ M 2 × 2 ( R ) ?

Lado esquerdo:

A B 1 + B 2 = A B 1 + A B 2   ( I )

Lado direito:

B 1 + B 2 A = B 1 A + B 2 A ⇒

Lembre-se que B 1 ,   B 2 ∈ M 2 × 2 ( R ) , então eles também comutam!

A B 1 + A B 2 I I

I = I I

Assim vemos que está fechado para soma!

Passo 3

-

Se B ∈ M 2 × 2 R ,   λ ∈ R , então λ B ∈ M 2 × 2 ( R ) ?

Lado esquerdo:

A λ B = λ A B

Lado direito:

λ B A = λ B A ⇒

Mas como B ∈ M 2 × 2 ( R ) , então comuta com A :

λ B A = λ A B

Como provamos as três condições do nosso teorema, então C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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