Passo 1

Vamos resolver utilizando o método da substituição de

z = tan ⁡ x 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2

E

d x = 2 d z 1 + z 2

Passo 2

Temos

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x

Substituindo na nossa integral vamos ficar com

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 2 z 1 + z 2 1 - z 2 1 + z 2 + 1 2 d z 1 + z 2

Simplificando temos

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 z 1 - z 2 1 + z 2 + 1 + z 2 1 + z 2 d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 1 + z 2 z 2 1 + z 2 d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 2 z d z

Passo 3

Agora podemos separar em duas integrais

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = ∫ 1 - z 2 2 z d z

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 z d z - 1 2 ∫ z   d z

Integrando ficamos com

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ z - 1 4 z 2 + C

Passo 4

Desfazendo a substituição z = tan ⁡ x 2

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 1 4 tan 2 ⁡ x 2 + C

Resolvido!

Resposta

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x