Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

1.a2) Calcule a seguinte integral

∫ x  sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Bora lá. Quando a gente pega uma integral, temos que olhar muito bem pra função que ta dentro dela. E olha só esse cara aí, é uma trigonométrica vezes um polinômio. Cheirinho de integração por partes então, já que são duas funções diferentes multiplicadas. Se fizermos:

u = x → d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tan ⁡ x

Pela regra da integração por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Vamos ter:

∫ x  sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x -   ∫ tan ⁡ x d x

E olha só! A função dentro da segunda integral é mais tranquila de resolver em! Quer ver? Saca só:

∫ tan ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Ok, mas e daí? Bem, a derivada de cos ⁡ x não é - sin ⁡ x ? Ora ora, então vamos poder cortar o seno se fizermos a seguinte substituição simples:

m = cos ⁡ x

d m d x = - sin ⁡ x

d x =   - d m sin ⁡ x

A integral fica:

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ sin ⁡ x m d m sin ⁡ x = - ∫ d m m

E resolvendo, temos:

- ∫ d m m =   - ln ⁡ m

Voltando a variável original, ficamos com:

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E ai pra fechar com chave de ouro, basta a gente juntar tudo, beleza? Vamos ter:

∫ x  sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x -   ∫ tan ⁡ x d x

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Então a nossa resposta vai ser, não esquecendo claro, da querida e amada constante de integração:

∫ x  sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

∫ x  sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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