Ache a área da região limitada pelos gráficos da parábola 1 4 x 2 e a curva de Agnesi y = 8 x 2 + 4

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Saca só: Quando queremos saber a região limitada por duas curvas, temos que saber os pontos onde ela s se interceptam. Nesse caso os é dado, mas e se não tivéssemos? Bom.. nesse caso vamos ver como é.

Basta igualar ambas as curvas, afinal queremos sabe os pontos onde elas são iguais. Logo:

1 4 x 2 = 8 x 2 + 4

x 4 - 4 x 2 - 32 = 0

Façamos u = x 2

u 2 - 4 u - 32 = 0

Aplicando bhaskara:

u = - 4 ± 16 + 128 2

u = - 8 ,     4

Logo x 2 = u = - 8 não faz sentifo, não tem como o quadrado te um numero ser negativo, mas x 2 = 4 é possível, sim, assim:

x = ± 2

E pronto, assim descobrimos os pontos onde essas curvas se interceptam e logo assim os limites de integração.

Para acharmos a área de uma região de interação, devemos fazer:

A = ∫ a b f ( x ) d x

Sendo a e b os limites de integração

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo f(x) a curva que rege a função, é a função superior menos a inferior, isto é nesse caso:

f x = 8 x 2 + 4 - 1 4 x 2

Assim a nossa área fica dada por fica:

A = ∫ - 2 + 2 8 x 2 + 4 - 1 4 x 2 d x  

Sabemos a soma das integrais é a integral da soma, assim:

A = ∫ - 2 + 2 8 x 2 + 4 d x - ∫ - 2 + 2 1 4 x 2 d x  

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes:

Para a primeira:

∫ - 2 + 2 8 x 2 + 4 d x

Fatorando o 4:

∫ - 2 + 2 8 4 1 + x 2 4 d x = ∫ - 2 + 2 2 1 + x 2 4 d x

Nessa integral antes temos que fazer uma substituição que muda muita coisa. Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

ou

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Nesse caso vamos usar a segunda opção, sendo assim, façamos:

x 2 = tan ⁡ θ

De forma que para dx:

d x = 2 sec 2 ⁡ θ

E quando temos uma integral com os limtes definidos, se usamos uma substituição, qualquer que seja, os limites devem acompanhar a substituição que nós fizermos, isto quer dizer que quando:

x = 2 → 2 2 = tan ⁡ θ → θ = 45 º = π 4

E também quando:

x = - 2 → - 2 2 = tan ⁡ θ → θ = - 45 ° = - π 4

Assim nossa integral fica:

∫ - π 4 π 4 2 2 sec 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ     d θ  

Como demos antes, sabemos que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ .   Ficando ao final:

∫ - π 4 π 4 2 2 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ     d θ = ∫ - π 4 π 4 4   d θ  

Realizando a integral:

∫ - π 4 π 4 4 θ   d θ   = 4 θ π 2 π 4 = 4 π 4 - - π 4 = 2 π

Resumindo:

∫ - 2 + 2 8 x 2 + 4 d x = 2 π  

Para a segunda integral:

∫ - 2 + 2 1 4 x 2 d x = 1 4 x 3 3 - 2 + 2 = 1 4 2 3 3 + 2 3 3 = 4 3  

Passo 4

Assim, com as duas integrais já feitas, podemos obter:

A = 2 π - 4 3 = 6 π - 4 3  

∴ A = 6 π - 4 3

E obtivemos nossa área.

Obrigado por ficar até aqui, carinha. Espero que tenha conseguido fazer também.

Resposta

A = 6 π - 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x