Calcular as integrais usando o método da substituição trigonométrica

∫ 1 x 2 + 16 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ 1 x 2 + 16 d x

Para conseguir resolver essa questão, vamos precisar usar a substituição:

x = 4 t a n ⁡ ( u ) → d x = 4 s e c 2 u d u

Substituindo:

∫ 1 x 2 + 16 d x = ∫ 1 16 t a n ² ( u ) + 16 4 s e c 2 u d u = ∫ 1 t a n ² ( u ) + 1 s e c 2 u d u

Aqui, é importante lembrar que:

t a n 2 u + 1 = s e c ² ( u )

Então:

∫ 1 t a n ² ( u ) + 1 s e c 2 u d u = ∫ 1 s e c ² ( u ) s e c 2 u d u = ∫ s e c ⁡ ( u ) d u

Passo 2

Ok, chegamos a uma integral bem mais simples né? Vamos continuar resolvendo:

∫ s e c ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u

La no Passo 1, vimos que:

x = 4 tan ⁡ u → u = arctan ⁡ x 4

Pensando no Teorema de Pitágoras:

h 2 = c 1 2 + c 2 ²

E pelo valor da tangente, sabemos que:

c 1 = x

c 2 = 4

Então:

h 2 = c 1 2 + c 2 ²

h 2 = x 2 + 16 → h = x 2 + 16

E para que fizemos isso? Se liga:

ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u = ln ⁡ 1 c os ⁡ u + tan ⁡ u

Pelos valores que achamos anteriormente, vamos ter:

cos ⁡ u = 4 x 2 + 16

Então:

ln ⁡ 1 cos ⁡ u + tan ⁡ u = ln ⁡ x 2 + 16 4 + x 4

Resposta

∫ 1 x 2 + 16 d x = ln ⁡ x 2 + 16 4 + x 4 + C

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