Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2015.1, Questão 1 c

Calcule

c   4 - x 2 x 2 d x

Passo 1

Olha o seguinte, esse cara dentro da raiz lembra o formato de um dos casos da integral por substituição trigonométrica:

4 - x 2 = a 2 - x 2

x = a sen θ = 2 sen θ ,     p a r a - π 2 θ π 2

d x = 2 cos θ d θ

Lança essa substituição na integral:

4 - x 2 x 2 d x = 4 - 2 sen θ 2 2 sen θ 2 2 cos θ d θ

= 4 - 4 sen 2 θ 4 sen 2 θ 2 cos θ d θ

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, 4 - 4 sen 2 θ = 4 cos 2 θ .

4 cos 2 θ 4 sen 2 θ 2 cos θ d θ = 2 cos θ 4 sen 2 θ 2 cos θ d θ

Como eu defini na substituição, igual temos lá na teoria dessa matéria, que - π 2 θ π 2 , então cos θ 0 e cos θ = cos θ :

4 cos x 4 sen 2 θ cos θ d θ = cos 2 θ sen 2 θ d θ

= cotg 2 θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar uma relaçãozinha trigonométrica para esse cara:

cotg 2 θ + 1 = cossec 2 θ

cotg 2 θ d θ = cossec 2 θ - 1 d θ

= - cotg θ - θ + C

Agora tem que fazer a substituição de volta. Para isso, temos que desenhar aquele triângulo clássico encaixando a nossa substituição original, com sen θ = x 2 para um θ qualquer:

Nesse caso, cotg θ = 4 - x 2 x e θ = arcsen x 2 . Vamos escrever o resultado então:

- cotg θ - θ + C = - 4 - x 2 x - arcsen x 2 + C

Resposta

4 - x 2 x 2 d x = - 4 - x 2 x - arcsen x 2 + C

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