Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Integração por Substituição Trigonométrica

Calcule

c   ∫ 4 - x 2 x 2 d x

Passo 1

Olha o seguinte, esse cara dentro da raiz lembra o formato de um dos casos da integral por substituição trigonométrica:

4 - x 2 = a 2 - x 2

x = a sen ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ ,     p a r a - π 2 ≤ θ ≤ π 2

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Lança essa substituição na integral:

∫ 4 - x 2 x 2 d x = ∫ 4 - 2 sen ⁡ θ 2 2 sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, 4 - 4 sen 2 ⁡ θ = 4 cos 2 ⁡ θ .

∫ 4 cos 2 ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 cos ⁡ θ 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Como eu defini na substituição, igual temos lá na teoria dessa matéria, que - π 2 ≤ θ ≤ π 2 , então cos ⁡ θ ≥ 0 e cos ⁡ θ = cos ⁡ θ :

∫ 4 cos ⁡ x 4 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cotg 2 ⁡ θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar uma relaçãozinha trigonométrica para esse cara:

cotg 2 ⁡ θ + 1 = cossec 2 ⁡ θ

∫ cotg 2 ⁡ θ d θ = ∫ cossec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= - cotg ⁡ θ - θ + C

Agora tem que fazer a substituição de volta. Para isso, temos que desenhar aquele triângulo clássico encaixando a nossa substituição original, com sen ⁡ θ = x 2 para um θ qualquer:

Nesse caso, cotg ⁡ θ = 4 - x 2 x e θ = arcsen ⁡ x 2 . Vamos escrever o resultado então:

- cotg ⁡ θ - θ + C = - 4 - x 2 x - arcsen ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ 4 - x 2 x 2 d x = - 4 - x 2 x - arcsen ⁡ x 2 + C

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