Calcule:

t )   ∫ 1 16 x 2 + 9 d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Para esta questão vamos ter que utilizar uma substituição trigonométrica, belezinha? Portanto precisamos identificar qual o caso e a substituição conveniente, e após simplificar e resolver a integral devemos montar o esquema do triângulo retângulo para voltar as variáveis originais! Bora tentar fazer isso. Belezinha?

Passo 2

Para começar vamos reescrever um pouco o nosso integrando! Podemos evidenciar alguns termos no denominador! Saca só:

∫ 1 16 x 2 + 9 d x = ∫ 1 16 ( x 2 + 9 / 16 )   d x = 1 4 ∫ 1 x 2 + 9 / 16 d x

A integral que restou pode ser resolvida através de uma substituição trigonométrica! Vamos com calma Hehehehe!

Passo 3

O caso que temos é da forma:

a 2 + x 2

Em que a = 3 / 4 . Portanto, é conveniente escolher:

x = 3 4 tan ⁡ ( θ )           e             d x = 3 4 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Portanto, a nossa integral toma a forma:

1 4 ∫ 1 x 2 + 9 / 16 d x = 3 16 ∫ sec 2 ⁡ ( θ ) d θ 9 16 tan 2 ⁡ ( θ ) + 9 16 = 3 16 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 9 16 tan 2 ⁡ θ + 1

Resumindo, temos a seguinte integral:

1 4 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ ( θ ) + 1

Vamos continuar simplificando-a, okay? Bora lá!

Passo 4

Temos a seguinte relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 = sec 2 ⁡ ( θ )

Portanto, a nossa integral toma a seguinte forma:

1 4 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 = 1 4 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ

Que tem como primitiva:

1 4 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ = 1 4 ln ⁡ tan ⁡ ( θ ) + sec ⁡ ( θ ) + C

Ainda precisamos voltar para a variável original! Bora fazer isso!

Passo 5

Lembrando que no começo colocamos x = 3 / 4 tan ⁡ ( θ ) , e que:

tan ⁡ ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = x 3 / 4

Usando Pitágoras podemos obter:

h 2 = x 2 + 9 16 → h = x 2 + 9 / 16

De forma que, se lembrarmos que:

sec ⁡ ( θ ) = 1 cos ⁡ θ = h i p o t e n u s a c a t e t o   a d j a c e n t e = x 2 + 9 / 16 3 / 4

Nosso resultado toma a seguinte forma:

∫ 1 16 x 2 + 9 d x = 1 4 ln ⁡ 4 3 x + 4 3 x 2 + 9 / 16 + C

Aí está a nossa alternativa! Pronto para a próxima? Te vejo jajá hein!!

Resposta

∫ 1 16 x 2 + 9 d x = 1 4 ln ⁡ 4 3 x + 4 3 x 2 + 9 / 16 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x