Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP, Cálculo 1, P3 - 2015, Questão 3 a

a ) Calcule

3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x

Passo 1

Cara, botou raiz com um negócio estranho tipo esse ( x 2 + 9 ) , ainda mais com o x 2 por fora, é para lembrar da substituição trigonométrica. O caso do ( x 2 + 9 ) seria o da tangente, olha:

x = a tg θ = 3 tg θ d x = 3 sec 2 θ d θ

L i m i t e   s u p e r i o r :     3 3 = 3 tg θ θ = π 3

L i m i t e   i n f e r i o r :     3 = 3 tg θ θ = π 4

Jogamos na integral isso agora:

3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x = π 4 π 3 1 3 tg θ 2 3 tg θ 2 + 9 3 sec 2 θ d θ

= π 4 π 3 3 sec 2 θ d θ 3 tg θ 2 3 sec θ

= 1 9 π 4 π 3 sec θ d θ tg θ 2 ,

p o i s   3 sec θ = 3 sec θ   n o   i n t e r v a l o

= 1 9 π 4 π 3 1 cos θ d θ sen θ cos θ 2 = 1 9 π 4 π 3 cos θ sen 2 θ d θ

Vamos usar outra substituição, u = sen θ , onde d u = cos θ d θ e os limites serão:

L i m i t e   s u p e r i o r :   u = sen π 3 = 3 2

L i m i t e   i n f e r i o r :   u = sen π 4 = 2 2

1 9 π 4 π 3 cos θ sen 2 θ d θ = 1 9 2 2 3 2 d u u 2

= 1 9 - 1 u [ 3 2 2 2

= 1 9 - 1 3 2 - 1 9 - 1 2 2

= 2 9 1 2 - 1 3

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Resposta

3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x = 2 9 1 2 - 1 3

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