Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica

a ) Calcule

∫ 3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x

Passo 1

Cara, botou raiz com um negócio estranho tipo esse ( x 2 + 9 ) , ainda mais com o x 2 por fora, é para lembrar da substituição trigonométrica. O caso do ( x 2 + 9 ) seria o da tangente, olha:

x = a tg ⁡ θ = 3 tg ⁡ θ → d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

L i m i t e   s u p e r i o r :     3 3 = 3 tg ⁡ θ → θ = π 3

L i m i t e   i n f e r i o r :     3 = 3 tg ⁡ θ → θ = π 4

Jogamos na integral isso agora:

∫ 3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x = ∫ π 4 π 3 1 3 tg ⁡ θ 2 3 tg ⁡ θ 2 + 9 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 π 3 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 tg ⁡ θ 2 3 sec ⁡ θ

= 1 9 ∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ d θ tg ⁡ θ 2 ,

p o i s   3 sec ⁡ θ = 3 sec ⁡ θ   n o   i n t e r v a l o

= 1 9 ∫ π 4 π 3 1 cos ⁡ θ d θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 = 1 9 ∫ π 4 π 3 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Vamos usar outra substituição, u = sen ⁡ θ , onde d u = cos ⁡ θ d θ e os limites serão:

L i m i t e   s u p e r i o r :   u = sen ⁡ π 3 = 3 2

L i m i t e   i n f e r i o r :   u = sen ⁡ π 4 = 2 2

1 9 ∫ π 4 π 3 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ 2 2 3 2 d u u 2

= 1 9 - 1 u [ 3 2 2 2

= 1 9 - 1 3 2 - 1 9 - 1 2 2

= 2 9 1 2 - 1 3

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Resposta

∫ 3 3 3 1 x 2 x 2 + 9 d x = 2 9 1 2 - 1 3

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