Calcule

∫ 5 ( x 2 + x + 2 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 5 ( x 2 + x + 2 ) d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos uma raiz com soma de quadrados dentro vamos usar a técnica de substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma substituição em que possamos usar alguma das identidades trigonométricas

Beleza?

E no nosso caso vamos usar

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos completar quadrado no denominador

5 x 2 + x + 2 = 5 x + 1 2 2 + 7 4

E fazendo uma pequena mudança de variáveis

u = x + 1 / 2

Nosso integrando fica

5 ∫ 16 4 u 2 + 7 2 d u

E fazer outra troca de variáveis

v = 2 7 u → d v = 2 7 d u

d u = d x

Aí nossa integral fica

5 .   16   ∫ 7 2 d v 2 7 v 2 + 7 2 = 40 7 49   ∫ d v v 2 + 1 2

Tranquilo?

Usando a substituição v = tan ⁡ w , temos que

  d v = sec 2 ⁡ w d w

E também

v 2 = tan 2 ⁡ w

Beleza?

Agora é só jogar na integral

40 7 49   ∫ d v v 2 + 1 2 = 40 7 49 ∫ 1 sec 4 ⁡ w . sec 2 ⁡ w d w

= 40 7 49 ∫ cos 2 ⁡ w d w

Podemos arrumar um pouco

40 7 49 ∫ 1 + cos ⁡ 2 w 2 d w

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos integrar!

40 7 49 ∫ 1 + cos ⁡ 2 w 2 d w = 40 7 49 1 2   w + sin ⁡ 2 w 2 + C

E nossa substituição? Precisamos retornar para x ! Temos que

v = 2 7 x + 1 2  

E

w = arctan ⁡ 2 7 x + 1 2

Aí é só substituir no nosso resultado!

= 20 7 49   arctan ⁡ 2 7 x + 1 2 + 1 2 sin ⁡ 2 arctan ⁡ 2 7 x + 1 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

20 7 49   arctan ⁡ 2 7 x + 1 2 + 1 2 sin ⁡ 2 arctan ⁡ 2 7 x + 1 2 + C

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