Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponta:

a) ∫ 2 + 3 x x 2 x 2 - 5 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral da função e verificar se ela é convergente ou não, quando for o caso (quando a gente se deparar com alguma indeterminação, por exemplo).

Repare que nós temos uma raiz no denominador, que tem a forma x 2 - a 2 . Nesse caso, a = 5 . Isso significa que vamos precisar usar uma substituição trigonométrica pra remover essa raiz e facilitar as continhas. Nesse caso, usamos x = a sec ⁡ θ , assim:

x = 5 sec ⁡ θ

d x = 5 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

θ = arcsec ⁡ x 5

Vamos substituir isso na integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhada na nossa integral:

∫ 2 + 3 x x 2 x 2 - 5 d x

Podemos separá-la assim:

∫ 2 x 2 x 2 - 5 d x + ∫ 3 x x 2 - 5 d x

Colocando as constantes do lado de fora:

2 ∫ 1 x 2 x 2 - 5 d x + 3 ∫ 1 x x 2 - 5 d x

Agora vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar fazendos as substituições que definimos no passo 1 na integral:

2 ∫ 1 x 2 x 2 - 5 d x

Teremos:

2 ∫ 1 5 sec ⁡ θ 2 5 sec ⁡ θ 2 - 5 5 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

2 ∫ 5 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ - 5 d θ

Simplificando:

2 ∫ 5 tan ⁡ θ 5 sec ⁡ θ 5 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Usando a identidade sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ , temos:

2 ∫ 5 tan ⁡ θ 5 sec ⁡ θ 5 ( tan 2 ⁡ θ ) d θ = 2 ∫ 1 5 sec ⁡ θ d θ

= 2 5 ∫ 1 sec ⁡ θ d θ

Mas 1 sec ⁡ θ = cos ⁡ θ , então temos:

2 5 ∫ cos ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral:

2 5 sin ⁡ θ + C

Mas não podemos esquecer de voltar pra nossa variável original. Como θ = arcsec ⁡ x 5 , vamos ter:

2 5 sin ⁡ arcsec ⁡ x 5 + C

Passo 4

Agora vamos resolver:

3 ∫ 1 x x 2 - 5 d x

Usando a mesma substituição trigonométrica que usamos antes, vamos obter:

3 ∫ 1 5 sec ⁡ θ ( 5 sec ⁡ θ ) 2 - 5 5 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Simpliicando:

3 ∫ tan ⁡ θ 5 ( 1 - sec 2 ⁡ θ ) d θ

Usando a identidade sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ , temos:

3 ∫ tan ⁡ θ 5 tan 2 ⁡ θ d θ = 3 ∫ tan ⁡ θ 5 tan ⁡ θ d θ

= 3 ∫ 1 5 d θ = 3 5 ∫ d θ

Resolvendo a integral:

3 5 θ

Mas nós definimos θ = arcsec ⁡ x 5 , então temos:

3 5 arcsec ⁡ x 5

Juntando nossos dois resultados, temos nossa resposta pra integral original:

∫ 2 + 3 x x 2 x 2 - 5 d x = 2 5 sin ⁡ arcsec ⁡ x 5 + 3 5 arcsec ⁡ x 5 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 5 sin ⁡ arcsec ⁡ x 5 + 3 5 arcsec ⁡ x 5 + C

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