Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2013.1, Questão 2iv

Calcule as integrais abaixo:

2 2 d x x 3 x 2 - 1

Passo 1

Denominador medonho é a cara da substituição trigonométrica. Temos a relação:

tg 2 ( y ) + 1 = sec 2 ( y )

Portanto arrumamos para ficar parecido com o denominador:

tg 2 ( y ) = sec 2 ( y ) - 1

Agora podemos fazer as substituições:

x = sec y

Derivamos ambos os lados para encontrar a relação entre d x e d y :

d x = sec y tg ( y ) d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Plugamos tudo na integral:

I * = sec y tg ( y ) d y sec 3 ( y ) sec 2 ( y ) - 1

Aplicando as trigs:

I * = tg ( y ) d y sec 2 ( y ) tg 2 ( y )

I * = tg ( y ) d y sec 2 ( y ) tg ( y )

I * = d y sec 2 ( y )

Passo 3

Agora, pela definição da secante:

sec y = 1 cos y

Temos:

I * = cos 2 ( y ) d y

Que pode ser rapidamente integrado por fórmulas trigonométricas:

I * = cos 2 y + 1 2 d y

I * = sen 2 y 4 + y 2 + C

Passo 4

Agora podemos voltar para x ou mudar os limites de integração. A segunda opção é mais simples. Tínhamos:

x = 2

x = 2

Pela substituição x = sec y :

sec y = 2 1 cos y = 2 cos y = 1 2

sec y = 2 1 cos y = 2 cos y = 1 2 = 2 2

Portanto os limites são:

y = π 3

y = π 4

Passo 5

Substituindo:

I = sen 2 y 4 + y 2 π / 4 π / 3

Resolvemos:

I = π + 3 3 - 6 24

Resposta

π + 3 3 - 6 24

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas