Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Integração por Substituição Trigonométrica

Calcule as integrais abaixo:

∫ 2 2 d x x 3 x 2 - 1

Passo 1

Denominador medonho é a cara da substituição trigonométrica. Temos a relação:

tg 2 ⁡ ( y ) + 1 = sec 2 ⁡ ( y )

Portanto arrumamos para ficar parecido com o denominador:

tg 2 ⁡ ( y ) = sec 2 ⁡ ( y ) - 1

Agora podemos fazer as substituições:

x = sec ⁡ y

Derivamos ambos os lados para encontrar a relação entre d x e d y :

d x = sec ⁡ y tg ⁡ ( y ) d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Plugamos tudo na integral:

I * = ∫ sec ⁡ y tg ⁡ ( y ) d y sec 3 ⁡ ( y ) sec 2 ⁡ ( y ) - 1

Aplicando as trigs:

I * = ∫ tg ⁡ ( y ) d y sec 2 ⁡ ( y ) tg 2 ⁡ ( y )

I * = ∫ tg ⁡ ( y ) d y sec 2 ⁡ ( y ) tg ⁡ ( y )

I * = ∫ d y sec 2 ⁡ ( y )

Passo 3

Agora, pela definição da secante:

sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y

Temos:

I * = ∫ cos 2 ⁡ ( y ) d y

Que pode ser rapidamente integrado por fórmulas trigonométricas:

I * = ∫ cos ⁡ 2 y + 1 2 d y

I * = sen ⁡ 2 y 4 + y 2 + C

Passo 4

Agora podemos voltar para x ou mudar os limites de integração. A segunda opção é mais simples. Tínhamos:

x = 2

x = 2

Pela substituição x = sec ⁡ y :

sec ⁡ y = 2 → 1 cos ⁡ y = 2 → cos ⁡ y = 1 2

sec ⁡ y = 2 → 1 cos ⁡ y = 2 → cos ⁡ y = 1 2 = 2 2

Portanto os limites são:

y = π 3

y = π 4

Passo 5

Substituindo:

I = sen ⁡ 2 y 4 + y 2 π / 4 π / 3

Resolvemos:

I = π + 3 3 - 6 24

Resposta

π + 3 3 - 6 24

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