Calcule as integrais abaixo:

∫ x 2 - 1 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos precisar aqui fazer uma substituição para calcular essa integral.

Sabe-se que a substituição para esse tipo de integral é dada pela seguinte relação:

x 2 - a 2

x = a   s e c θ

No nosso problema a = 1 , logo:

x = s e c θ

d x = s e c θ t a n θ   d θ

Passo 2

Fazendo a substituição na integral, temos que:

∫ x 2 - 1 d x = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 secθ tanθ ⁡ d θ

Sabe-se que sec 2 ⁡ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Logo,

∫ t a n θ secθ  tanθ ⁡ d θ = ∫ tan 2 ⁡ θ s e c θ   d θ

Voltando a usar a identidade trigonométrica anterior:

∫ tan 2 ⁡ θ s e c θ   d θ = ∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) s e c θ   d θ

∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) s e c θ   d θ = ∫ ( sec 3 ⁡ θ - s e c θ ) d θ

Passo 3

Resolvendo a integral:

∫ ( sec 3 ⁡ θ - s e c θ ) d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ s e c θ d θ

A primeira integral do lado direito fica:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 s e c θ   t a n θ + 1 2 l n ⁡ | s e c θ + t a n θ |

E a segunda integral fica:

∫ s e c θ d θ = - l n ⁡ | s e c θ + t a n θ |

Substituindo, temos:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ s e c θ d θ = 1 2 s e c θ   t a n θ + 1 2 ln ⁡ s e c θ + t a n θ + l n ⁡ | s e c θ + t a n θ |

Logo, a integral fica:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ s e c θ d θ = 1 2 s e c θ t a n θ + 3 2   l n ⁡ | s e c θ + t a n θ |

Passo 4

Voltando para o domínio de x

∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ s e c θ d θ = 1 2   x x 2 - 1 - ln ⁡ x + x 2 + 1

Resposta

1 2   x x 2 - 1 - ln ⁡ x + x 2 + 1

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