1) Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.

(a) ∫ 1 9 - 16 t 2   d t

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o enunciado dessa questão é bem direto e já afirma que teremos que resolver por substituição trigonométrica, o que nos resta agora é determinar qual substituição trigonométrica vai se encaixar na nossa funçãozinha! Meu deus, mas como fazemos isso mesmo?

Calma! Pra usarmos o método da substituição trigonométrica, é importante que a nossa função possua uma raiz com essa carinha aqui: x 2 + a 2 ,     x 2 - a 2 ,     a 2 - x 2 .

Tá, mas a nossa função não tá lá muito parecida com isso não. O que eu faço?

Antes de qualquer desespero, o segredo pra esse exercício vai ser trabalhar com aquele número que está dentro da raiz. Então vamos começar reescrevendo ele como um quadrado perfeito:

∫ 1 3 2 - 4 t 2   d t

Olha só que legal, já deu uma melhorada!

Mas pra ela ficar mais bonitinha e fácil ainda, podemos aplicar aqui a substituição em u !!

Então, vamos adotar u = 4 t e d u = 4   d t       →         d t = d u 4 .

Reescrevendo a nossa integral, temos que:

∫ 1 3 2 - u 2 d u 4

Como 1/4 é constante, vamos tirá-lo da integral:

1 4 ∫ 1 3 2 - u 2   d u

Olha só que bacana! A nossa integral agora tem aquela característica que permite adotar o método da substituição trigonométrica!

Bora lá então!

Passo 2

Pra resolvermos a integral ali do passo 1, vamos adotar a regrinha da substituição trigonométrica que diz que quando temos ∫ 1 a 2 + x 2   d x , isso é igual a: arcsin ⁡ x a .

Então relembrando a nossa integral:

1 4 ∫ 1 3 2 - u 2   d u

Vemos a partir dela que o nosso x será o u e o nosso a será 3 !

Então, vamos ter que o nosso resultado para a integral será:

1 4 arcsin ⁡ u 3 + C

Substituindo u de volta:

1 4 arcsin ⁡ 4 t 3 + C

Lembrando que esse C é a nossa constante de integração!

Conseguimos!!!! Bem mais fácil do que você imaginou! Fala aí!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 4 arcsin ⁡ 4 t 3 + C

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