1) Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.

(b) ∫ x 2 2 - x 2   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

O enunciado dessa questão já nos ajuda bastante! Ele afirma que temos que usar substituição trigonométrica. Então o que nos resta agora é determinar qual substituição trigonométrica vai se encaixar melhor na nossa situação aqui!

Meu deus, mas como fazemos isso mesmo?

Calma! Pra usarmos o método da substituição trigonométrica, é importante que a nossa função possua uma raiz com essa carinha aqui: x 2 + a 2 ,     x 2 - a 2 ,     a 2 - x 2 .

Olha só que legal, a nossa raiz presente ali na integral tem essa carinha!

∫ x 2 2 - x 2   d x

A gente pode ver ali que a 2 = 2 , então nosso a será igual a 2 !

Mas e agora o que eu faço com essa informação?

Vamos desenhar o nosso triângulo retângulo e fazer algumas interpretações!

A partir disso, podemos fazer a seguinte relação trigonométrica:

x = a sin ⁡ u       ( I )

Disso, podemos obter sua derivada d x :

d x = a cos ⁡ ( u )   d u         ( I I )

Nós já temos o nosso valor de a , mas para ficar mais fácil, ainda não vamos usar ele aqui! Assim a manipulação da nossa integral ficará bem mais fácil, e chegaremos ao mesmo resultado!

A partir das equações I e   ( I I ) , podemos reescrever a nossa integral:

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   a 2 - a 2 sin 2 ⁡ ( u )   a cos ⁡ ( u )   d u

Bora lá trabalhar com isso então!

Passo 2

Vamos começar colocando a 2 em evidência no denominador:

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   a 2 1 - sin 2 ⁡ u   a cos ⁡ ( u )   d u

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   a 1 - sin 2 ⁡ u   a cos ⁡ ( u )   d u

Agora podemos cortar os dois a presentes ali:

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   1 - sin 2 ⁡ u   cos ⁡ ( u )   d u

Vamos observar bem o nosso denominador agora. Você consegue ver a sacada que apareceu ali?

Temos uma identidade trigonométrica!!! Então, 1 - sin 2 ⁡ u = cos 2 ⁡ ( u )

Substituindo, vamos ter então:

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   cos 2 ⁡ ( u )   cos ⁡ ( u )   d u

Podemos simplificar essa expressãozinha, e também já substituirmos o valor de a , já que nossa expressão está beeem mais simples!

∫ a 2 sin 2 ⁡ ( u )   cos ⁡ ( u )   cos ⁡ ( u )   d u

∫ 2 2 sin 2 ⁡ ( u )   d u

∫ 2 sin 2 ⁡ ( u )   d u

Olha só que simples!

Agora vamos tirar aquele 2 da integral, já que ele é uma constante, e vamos trabalhar com essa nova integral no próximo passo!

2 ∫ sin 2 ⁡ ( u )   d u

Passo 3

Observando melhor a nossa integral ali do passo 2, vamos ter outra sacada! Temos mais uma identidade trigonométrica presente ali: sin 2 ⁡ ( u ) = 1 2 1 - cos ⁡ 2 u

Tá, mas por que usar essa identidade? Para podermos trabalhar com a integral de senos e cossenos, eles não podem estar elevados ao quadrado. Então é sempre importante fazer relações de identidades trigonométricas que removam essa condição!

Vamos substituir então:

2 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 u   d u

Como 1/2 é uma constante, vamos tirá-lo dali.

2 * 1 2 ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 u )   d u

∫ 1 - cos ⁡ 2 u   d u

Agora, como temos uma subtração, podemos reorganizar nossa integral da seguinte maneira:

∫ 1   d u - ∫ cos ⁡ ( 2 u )   d u

Bora lá então resolver cada uma dessas integrais separadamente!

Passo 4

Fazendo então a primeira integral, vamos ter que:

∫ 1   d u = u

Porém, para a segunda integral, vamos observar que temos um 2 ali multiplicando a nossa variável u ! Mas por que isso é importante de ser notado?

É importante porque não existe uma resolução direta para a integral de senos e cossenos de valores como 2 u por exemplo.

Então, para podermos resolver isso, devemos adotar o método da integração por substituição em u ! Aqui vamos chamar u de v já que a nossa integral está em função de u .

Bora lá então!

Vamos adotar v = 2 u e d v = 2 d u       →       d u = d v 2 .

Reescrevendo a integral vamos ter que:

∫ cos ⁡ v d v 2

1 2 ∫ cos ⁡ v d v

Resolvendo essa integral e já substituindo de volta o valor de v vamos ter que:

1 2 sin ⁡ 2 u

Porém, sin ⁡ ( 2 u )   a partir das relações de identidade trigonométricas pode ser escrita por: 2 sin ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u ) ! Então:

1 2 * 2 sin ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u )

Então, relembrando a nossa integral ∫ 1   d u - ∫ cos ⁡ ( 2 u )   d u vamos ter que isso é igual a:

u - sin ⁡ u cos ⁡ ( u )

Passo 5

Voltando agora na nossa figura lá do passo 1, podemos assumir que:

sin ⁡ ( u ) = x a ,     cos ⁡ ( u ) = a 2 - x 2 2

Então, substituindo isso no nosso resultado encontrado ali no passo 4, temos que:

u - x a * a 2 - x 2 2

Como já definimos que a = 2 , temos que:

u - x 2 * 2 2 - x 2 2

u - x 2 2 - x 2

Passo 6

Por fim, precisamos agora encontrar o nosso valor de u . Mas como vamos fazer isso?

De novo vamos usar a nossa figura lá do passo 1!

Então, se sin ⁡ ( u ) = x 2 , temos que u = arcsin ⁡ x 2 !

Substituindo então vamos ter que:

arcsin ⁡ x 2 - x 2 2 - x 2 + C

Lembrando que esse C é a nossa constante de integração!

Ufa!! Conseguimos!!!!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

arcsin ⁡ x 2 - x 2 2 - x 2 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x