1) Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.

(d) ∫ ( 6 x + 5 ) 9 x 2 + 1   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o enunciado dessa questão é bem direto e já afirma que teremos que resolver por substituição trigonométrica, o que nos resta agora é determinar qual substituição trigonométrica vai se encaixar na nossa funçãozinha! Meu deus, mas como fazemos isso mesmo?

Calma! Pra usarmos o método da substituição trigonométrica, é importante que a nossa função possua uma raiz com essa carinha aqui: x 2 + a 2 ,     x 2 - a 2 ,     a 2 - x 2 .

Tá, mas a nossa função não tá lá muito parecida com isso não. O que eu faço?

Antes de qualquer desespero, o segredo pra esse exercício vai ser trabalhar com a nossa função! Então vamos começar dividindo a fração:

∫ 6 x 9 x 2 + 1 + 5 9 x 2 + 1 d x

Como temos a soma de duas expressões, podemos ainda dividir essa integral:

∫ 6 x 9 x 2 + 1   d x + ∫ 5 9 x 2 + 1 d x

Vamos então trabalhar em cada uma dessas integrais separadamente!

Bora lá então!

Passo 2

Pra resolvermos a primeira integral ali do passo 1, vamos começar tirando o 6 que é uma constante:

6 ∫ x 9 x 2 + 1   d x

Agora, pra resolvermos essa integral, como temos um número em função de x sendo dividido por outro número em função de x, não precisaremos utilizar substituição trigonométrica aqui!

Então, vamos adotar o método da substituição em u :

Adotando u = 9 x 2 + 1 e d u = 18 x   d x     →     x   d x = d u 18 , vamos reescrever a nossa integral e já realizar a sua simplificação:

6 ∫ 1 u 1 18   d u

6 ∫ 1 u 1 / 2 1 18   d u

6 * 1 18 ∫ 1 u 1 / 2   d u

1 3 ∫ 1 u 1 / 2   d u

1 3 ∫ u - 1 / 2   d u

Olha só que expressão mais simples!! Agora está bem mais tranquilo de resolver essa primeira integralzinha!

Então, calculando-a, temos que:

1 3 * u 1 2 1 2 = 2 3 u 1 2

Substituindo u de volta, temos que:

2 3 9 x 2 + 1 1 2 = 2 3 9 x 2 + 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda integral ali do nosso passo 1:

∫ 5 9 x 2 + 1 d x

Para resolvermos essa integral, como temos um número comum (sem estar em função de x ), sendo dividido por outro que está em função de x , precisaremos adotar o método da substituição trigonométrica!

Pra isso, vamos então desenhar o triângulo retângulo para fazer todas as relações para encontrarmos o resultado dessa integralzinha!

Antes de usarmos essa figura, vamos tirar o 5 de dentro da integral, já que ele é uma constante:

5 ∫ 1 9 x 2 + 1 d x

Pronto! Agora, a partir da figura, podemos estabelecer as seguintes relações:

tan ⁡ ( u ) = x 1 / 3 = 3 x

x = tan ⁡ u 3

Então a derivada de x , é dada por:

d x = sec 2 ⁡ u 3   d u

Substituindo essas relações na nossa integral, e já simplificando, vamos ter que:

5 ∫ 1 9 tan ⁡ u 3 2 + 1   sec 2 ⁡ ( u ) 3   d u

5 ∫ 1 9 tan 2 ⁡ u 9 + 1   sec 2 ⁡ ( u ) 3   d u

5 ∫ 1 tan 2 ⁡ ( u ) + 1   sec 2 ⁡ ( u ) 3   d u

Olha só que interessante! Você consegue ver ali que temos uma sacada bem importante nessa expressão?

Podemos ver ali na raiz uma identidade trigonométrica! tan 2 ⁡ ( u ) + 1 = sec 2 ⁡ ( u )

Então:

5 ∫ 1 sec 2 ⁡ ( u )   sec 2 ⁡ ( u ) 3   d u

Simplificando:

5 ∫ 1 sec ⁡ ( u )   sec 2 ⁡ ( u ) 3   d u

5 ∫ sec ⁡ ( u ) 3     d u

Como 1/3 é constante, podemos removê-lo da integral:

5 * 1 3 ∫ sec ⁡ ( u )   d u

Lembrando que a integral acima já é conhecida e pode ser resolvida diretamente. Então, resolvendo essa integral vamos ter que:

5 3 ln ⁡ tan ⁡ ( u ) + sec ⁡ ( u )

Agora, podemos calcular o valor da secante pela figura lá do passo 1, já que o valor da tangente nós já temos.

sec ⁡ u = 1 cos ⁡ u

Além dessa relação, encontrando essa expressão acima em função de x , temos que:

cos ⁡ ( u ) = 1 / 3 x 2 + 1 3 2

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 / 9 x 2 + 1 / 9

cos 2 ⁡ u x 2 + 1 9 = 1 9

9 x 2 + 1 9 = 1 cos 2 ⁡ u

9 x 2 + 1 = 1 cos 2 ⁡ u

1 cos ⁡ u = 9 x 2 + 1

Substituindo no nosso resultado ali em cima: 5 3 ln ⁡ tan ⁡ ( u ) + sec ⁡ ( u ) , teremos:

5 3 ln ⁡ 3 x + 9 x 2 + 1

Ufa! Achamos o valor da nossa segunda integral!

Passo 4

Por fim, vamos juntar as integrais obtidas nos passos 2 e 3 para obter nosso resultado final:

2 3 9 x 2 + 1 + 5 3 ln ⁡ 3 x + 9 x 2 + 1 + C

Lembrando que esse C é a nossa constante de integração!

Conseguimos!!!! Amém!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

2 3 9 x 2 + 1 + 5 3 ln ⁡ 3 x + 9 x 2 + 1 + C

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