1) Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.

(e) ∫ x 2 - 1 x 2   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

O enunciado dessa questão já nos ajuda bastante! Ele afirma que temos que usar substituição trigonométrica. Então o que nos resta agora é determinar qual substituição trigonométrica vai se encaixar melhor na nossa situação aqui!

Meu deus, mas como fazemos isso mesmo?

Calma! Pra usarmos o método da substituição trigonométrica, é importante que a nossa função possua uma raiz com essa carinha aqui: x 2 + a 2 ,     x 2 - a 2 ,     a 2 - x 2 .

Olha só que legal, a nossa raiz presente ali na integral tem essa carinha!

∫ x 2 - 1 x 2   d x

Mas temos um pequeno probleminha. Não podemos usar substituição trigonométrica diretamente nessa integral pois temos uma expressão em função de x sendo dividida por outra também em função de x ! Como arrumamos isso então?

Pra gente poder aplicar a substituição trigonométrica, vamos tirar aquele x do denominador fazendo primeiramente uma integração por partes dessa integral! Bora lá então!

Passo 2

Esse método tem uma regrinha básica que ajuda bastante a gente:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Isso parece ser meio complicadinho, mas eu prometo pra você que é bem tranquilo!

Então agora precisamos determinar quem serão todas essas variáveis presentes ali nessa formulinha.

Vamos assumir u = x 2 - 1 e d v automaticamente será o resto que sobrou. Portanto: d v = 1 x 2 d x

Agora vamos encontrar a derivada de u que será d u :

d u = x x 2 - 1   d x

E também como temos d v , podemos encontrar o valor de v a partir da integral de d v . Então, vamos ter que:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x         →         v = - 1 x

Pronto! Agora já temos todas as nossas variáveis ( u ,   d u ,   v   e   d v ) da nossa fórmula de integração por partes!

Vamos escrevê-la aqui então:

∫ x 2 - 1 x 2   d x =

x 2 - 1 * - 1 x - ∫ - 1 x x x 2 - 1   d x

Simplificando:

- x 2 - 1 x + ∫ 1 x 2 - 1   d x         ( I )

Olha só a nova integral que apareceu ali! Agora sim podemos usar o método da substituição trigonométrica para resolver o probleminha!

Bora lá então!

Passo 3

Calculando a integral ali do passo 2 por substituição trigonométrica, como temos uma expressão com a carinha: x 2 - a 2 , a partir das regrinhas desse método, podemos afirmar que: x = a sec ⁡ ( u ) .

Como temos x 2 - 1 , temos que nosso a é igual a 1! Portanto:

x = sec ⁡ u

Então, sua derivada será:

d x = sec ⁡ ( u ) tan ⁡ ( u ) d u  

Substituindo esses valores na integral, teremos que:

∫ 1 sec 2 ⁡ ( u ) - 1 sec ⁡ ( u ) tan ⁡ ( u )   d u

A partir das identidades trigonométricas, temos que sec 2 ⁡ ( u ) - 1 = tan 2 ⁡ ( u ) . Então, substituindo na integral, temos:

∫ 1 tan 2 ⁡ ( u ) sec ⁡ ( u ) tan ⁡ ( u )   d u

∫ 1 tan ⁡ ( u ) sec ⁡ ( u ) tan ⁡ ( u )   d u

∫ sec ⁡ ( u )   d u

Como essa já é uma integral conhecida, temos que:

∫ sec ⁡ ( u )   d u = ln ⁡ sec ⁡ ( u ) tan ⁡ ( u )

Como já sabemos que sec ⁡ ( u ) = x . Vamos agora encontrar t a n ⁡ ( u ) .

Como tan 2 ⁡ ( u ) = sec 2 ⁡ ( u ) - 1 e sec ⁡ u = x , podemos fazer a seguinte relação:

tan 2 ⁡ ( u ) = x 2 - 1

tan ⁡ ( u ) = x 2 - 1

Substituindo os valores, teremos então que:

ln ⁡ sec ⁡ u tan ⁡ u

ln ⁡ x x 2 - 1 + C

Substituindo o resultado da integral ali na equação ( I ) do passo 2, temos então que:

- x 2 - 1 x + ∫ 1 x 2 - 1   d x             →               - x 2 - 1 x + ln ⁡ x x 2 - 1 + C

Então nosso resultado final é:

ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 x + C

Lembrando que esse C é a nossa constante de integração!

Ufa!! Conseguimos!!!!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 x + C

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Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x