Calcule as integrais indefinidas abaixo

55 .   ∫ 3 - 2 x - x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 3 - 2 x - x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos uma raiz com soma de quadrados dentro vamos usar a técnica de substituição trigonométrica

Nessa técnica devemos escolher uma substituição em que possamos usar alguma das identidades trigonométricas

Beleza?

E no nosso caso vamos usar

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos completar quadrado dentro da raiz

3 - 2 x - x 2 = - x + 1 2 + 4

E fazer uma pequena troca de variáveis

u = x + 1

d u = d x

Aí nossa integral fica

∫ 3 - 2 x - x 2 d x = ∫ - u 2 + 4 d u

Tranquilo?

Usando a substituição u = 2 sen ⁡ θ , temos que

  d u = 2 cos ⁡ θ d θ

E também

u 2 = 4   s e n 2 θ

Beleza?

Agora é só jogar na integral

∫ - u 2 + 4 d u = ∫ 4 1 - s e n 2 θ . 2 cos ⁡ θ d θ

Podemos arrumar um pouco

∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = 4 ∫ 1 + c o s 2 θ 2 d θ = 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos integrar o que ficou!

= 2 θ + sin ⁡ 2 θ

E agora? Agora é só retornar para as variáveis originais!

u = 2 sen ⁡ θ

u 2 = s e n θ → arcsin ⁡ x + 1 2 = θ

Então

= 2 arcsin ⁡ x + 1 2 + sin ⁡ 2   .   arcsin ⁡ x + 1 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 arcsin ⁡ x + 1 2 + sin ⁡ 2   .   arcsin ⁡ x + 1 2 + C

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