19) Calcule as integrais seguintes:

(a) ∫ d x 3 + 5 cos ⁡ x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício onde precisaremos ter na ponta da língua (ou pelo menos na mão para consultar) as identidades trigonométricas.

A substituição que faremos para esse item (a) é a seguinte:

cos ⁡ x = 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 ⁡  

Reescrevendo:

∫ d x 3 + 5 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

Transferindo o denominador dos parênteses para o numerador:

∫ 1 + tan 2 ⁡ x 2 3 + 3 tan 2 ⁡ x 2 + 5 - 5 tan 2 ⁡ x 2   d x

Simplificando:

∫ sec 2 ⁡ x 2 8 - 2 tan 2 ⁡ x 2   d x = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x 2 4 - tan 2 ⁡ x 2   d x

Passo 2

Agora já conseguimos observar uma substituição possível. Já encontrou também?

Se tan ⁡ x 2 = t , d t = sec 2 ⁡ x 2 2   d x . Ou 2 d t = sec 2 ⁡ x 2

Portanto:

1 2 ∫ 2 d t 4 - t 2 = ∫ d t 2 2 - t 2

Olha que bacana! Dentro da substituição, encontramos uma nova substituição conhecida. Essa aqui:

∫ d x a 2 - x 2 = 1 2 a log ⁡ a + x a - x

Então vamos nessa! Vamos aplicar!

1 2 * 2 log ⁡ 2 + t 2 - t = 1 4 log ⁡ 2 + t 2 - t

Passo 3

Olha só! Só falta substituir os valores de t conforme definimos na primeira substituição.

Portanto:

1 4 log ⁡ 2 + t 2 - t = 1 4 log ⁡ 2 + tan ⁡ x 2 2 - tan ⁡ x 2

Ah, não podemos esquecer da constante de integração!

1 4 log ⁡ 2 + tan ⁡ x 2 2 - tan ⁡ x 2 + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 4 log ⁡ 2 + tan ⁡ x 2 2 - tan ⁡ x 2 + C

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