19) Calcule as integrais seguintes:

(c) ∫ cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício onde precisaremos ter na ponta da língua (ou pelo menos na mão para consultar) as identidades trigonométricas.

Já vamos começar com um bom artifício. Veja:

∫ cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = ∫ 1 + cos ⁡ x - 1 1 + cos ⁡ x

Isso fará com que a nossa função seja simplificada:

∫ 1 - 1 1 + cos ⁡ x d x

Agora, faremos a nossa primeira substituição:

1 + cos ⁡ 2 a = 2 cos 2 ⁡ a

Alterando:

∫ 1 - 1 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

Isso permite que façamos uma simplificação bem bacana, veja:

∫ 1 - 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Como há uma subtração dentro da integral, podemos dividir:

∫ 1 d x - 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x 2 d x

Passo 2

Agora já conseguimos observar uma substituição possível. Já encontrou também?

Se x 2 = t , x = 2 t . Então, d x = 2 d t

Portanto:

- 1 2 ∫ sec 2 ⁡ t 2 d t = - ∫ sec 2 ⁡ t   d t

Essa é uma integral que podemos substituir diretamente da tabela, ou seja:

- ∫ sec 2 ⁡ t   d t = - tan ⁡ t

Retornando as variáveis:

- 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x 2 d x = - tan ⁡ x 2

Abandonamos uma integral, que é:

∫ 1 d x = x

Passo 3

Olha só! Agora só precisamos juntar as duas integrais que já foram calculadas.

Portanto:

∫ cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = x - tan ⁡ x 2

Ah, não podemos esquecer da constante de integração!

∫ cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = x - tan ⁡ x 2 + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

x - tan ⁡ x 2 + C

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