19) Calcule as integrais seguintes:

(d) ∫ sin ⁡ x 1 - sin ⁡ x d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício onde precisaremos ter na ponta da língua (ou pelo menos na mão para consultar) as identidades trigonométricas.

Já vamos começar com uma substituição, que é:

1 - sin ⁡ x = cos 2 ⁡ x 1 + sin ⁡ x

Substituindo:

∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 + sin ⁡ x d x

Agora, expandiremos nossa função visando simplificar o denominador:

∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Com certeza você já percebeu que temos uma soma na integral. Vamos dividir, então:

∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x d x + ∫ sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Passo 2

O mais legal dessas duas integrais que geramos é que elas têm substituição direta na tabela de integrais.

Portanto:

∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = s e c ⁡ x

E nossa outra integral será:

∫ sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x

Passo 3

Olha só! Agora só precisamos juntar as duas integrais que já foram calculadas.

Portanto:

∫ sin ⁡ x 1 - sin ⁡ x d x = sec ⁡ x + tan ⁡ x - x

Ah, não podemos esquecer da nossa constante de integração:

∫ sin ⁡ x 1 - sin ⁡ x d x = sec ⁡ x + tan ⁡ x - x + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

sec ⁡ x + tan ⁡ x - x + C

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