Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

f )   ∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 / 2

Passo 1

Vamos que vamos que essa é a última alternativa!! Força que vai dar bom!

Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Para identificar qual é o nosso caso, vamos primeiro reescrever um pouco nossa integral! Temos:

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 / 2 = ∫ d x 9 - x + 2 2 5 / 2

Em que completei quadrado subtraindo 2 2 e somando 2 2 . Agora, vamos fazer uma pequena mudança de variável da forma u = x + 2 e d u = d x , portanto:

∫ d x 9 - x + 2 2 5 / 2 = ∫ d u 9 - u 2 5 / 2

Agora conseguimos identificar qual é o nosso caso! Bora lá!

Passo 2

Podemos identificar o nosso caso como o seguinte:

a 2 - u 2

Em que a = 3 . Para esta situação é conveniente usar a substituição:

u = a sin ⁡ ( θ ) = 3 sin ⁡ ( θ )         e           d u = cos ⁡ ( θ ) d θ

Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!

Passo 3

Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:

∫ d u 9 - u 2 5 / 2 = ∫ cos ⁡ ( θ ) 9 - 9 sin 2 ⁡ ( θ ) 5 / 2 d θ

Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!

Passo 4

Vamos lembrar que:

sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 → cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - sin 2 ⁡ ( θ )

Ou seja,

∫ cos ⁡ ( θ ) 9 - 9 sin 2 ⁡ ( θ ) 5 / 2 d θ = ∫ cos ⁡ ( θ ) 9 1 - sin 2 ⁡ θ 5 / 2 d θ = 1 243 ∫ cos ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ θ 5 / 2 d θ = →

→ = 1 243 ∫ sec 4 ⁡ ( θ ) d θ

Em que usei que sec ⁡ θ = 1 / cos ⁡ ( θ ) . Para resolver esta integral temos um pequeno truque! Segue comigo!

Passo 5

Se lembrarmos que:

1 + tan 2 ⁡ ( θ ) = sec 2 ⁡ ( θ )

Temos que:

1 243 ∫ sec 4 ⁡ ( θ ) d θ = 1 243 ∫ 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) d θ  

Isso é bem legal porque agora podemos fazer a seguinte substituição:

v = tan ⁡ θ       e         d v = sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

De forma que nossa integral fica da forma:

1 243 ∫ 1 + v 2 d u = 1 243 ∫ d v + 1 243 ∫ v 2 d u

Identificando nossas primitivas temos que:

1 243 ∫ d v + 1 243 ∫ v 2 d v = 1 243 v + 1 729 v 3 + C

Voltando para a variável θ , temos:

1 243 v + 1 729 v 3 + C = 1 243 tan ⁡ ( θ ) + 1 729 tan 3 ⁡ ( θ ) + C

Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!

Passo 6

Temos que:

u = 3 sin ⁡ ( θ ) → sin ⁡ ( θ ) = u 3 = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:

9 = u 2 + c 2 → c = 9 - u 2

E nosso triângulo retângulo tem a forma:

Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!

Passo 7

Desta forma, temos que:

tan ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = u 9 - u 2

Lembrando que:

u = x + 2

Temos que:

tan ⁡ ( θ ) = x + 2 9 - ( x + 2 ) 2

Maravilha! Nossa resposta final é então:

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 / 2 = 1 243 x + 2 9 - ( x + 2 ) 2 + 1 729 x + 2 9 - x + 2 2 3 + C

A questão foi isso!! Boa sorte com estudos! Tchauzinho heheheh!

Resposta

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 / 2 = 1 243 x + 2 9 - ( x + 2 ) 2 + 1 729 x + 2 9 - x + 2 2 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x