Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triangulo retângulo.

c) ∫ 8 x 2 + 2     d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Veja que nesse caso temos uma variante x 2 + 2 podemos a partir dela chegar em algo parecido com o que foi dado em cima. Como?

Fatorando o 2:

2 x 2 2 + 1 = 2     x 2 2 + 1

E estamos agora mais próximos de alguma possível substituição e assim sai fácil facil. Consegue saber qual é? Cola junto

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se você optou pela substituição com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , você acertou pois podemos achar alguma substituição com sec 2 ⁡ θ - 1 . Veja:

Façamos:

x 2 = tan ⁡ θ

Um esquema no triangulo retângulo é:

Derivando para obtermos dx:

d x d θ =   2   sec 2 ⁡ θ → d x =   2  sec 2 ⁡ θ     d θ

PS: Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Assim nossa integral fica:

∫ 8 2   2  sec 2 ⁡ θ     d θ 1 + tan 2 ⁡ θ     d θ

Tirando os termos que se cortam:

∫ 8   sec 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ d θ

Como dito antes, sabemos que tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ → sec ⁡ θ =   tan 2 ⁡ θ + 1 . Assim:

∫ 8   sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ 8  sec ⁡ θ   d θ

Passo 3

Temos uma técnica de integração já conhecida para a integral de sec ⁡ θ .   Ela aparece na tabela de técnicas de integração no fim dos livros de cálculos. É útil sempre a usarmos. Isto é:

∫ 8 sec ⁡ θ d θ = 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Não podemos nos esquecer da bendita constante.

Lembra das nossas substituições?

x 2 = tan ⁡ θ

E sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ → sec ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ = 1 + x 2 2 . assim

8 ln ⁡ 1 + x 2 2   + x 2 + C

Resumindo:

∫ 8 x 2 + 2     d x = 8 ln ⁡ 1 + x 2 2   + x 2 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ 8 x 2 + 2     d x = 8 ln ⁡ 1 + x 2 2   + x 2 + C

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