Calcule as integrais:

c) ∫ cotg 4 ⁡ x co ssec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ cotg 4 ⁡ x cossec 4 ⁡ x d x

Vamos pensar em como resolvê-la. Nós temos a função cotangente elevada à quarta potência e uma função cossecante também elevada à quarta. Qual a técnica que a gente pode usar pra facilitar nossa vida nesse caso?

Vamos pensar na relação que existe entre essas funções. A gente sabe que a derivada c o t g   x é:

c o t g   x ' = - c o s s e c 2   x

Então, a gente pode tentar fazer aparecer uma c o s s e c 2   x na integral pra usar uma substituição u   d u . Como assim? Vamos ver como fica!

Passo 2

A nossa integral é:

∫ cotg 4 ⁡ x cossec 4 ⁡ x d x

Mas nós podemos escrever cossec 4 ⁡ x como cossec 2 ⁡ x ∙ cossec 2 ⁡ x , certo? Fica assim:

∫ cotg 4 ⁡ x cossec 2 ⁡ x ∙ cossec 2 ⁡ x d x

E aí, apareceu a cossec 2 ⁡ x que a gente queria pra fazer a substituição. Mas ela aparece duas vezes, então vamos tentar transforma-la em outra função equivalente.

Nós sabemos que 1 + c o t g 2 x = c o s s e c 2 x é uma identidade trigonométrica. Substituindo ela na integral, temos:

∫ cotg 4 ⁡ x 1 + c o t g 2 x ∙ cossec 2 ⁡ x d x

Passo 3

Agora sim a gente pode chamar:

u = c o t g   x

E derivando:

d u = - c o s s e c 2   x   d x

- d u = c o s s e c 2   x   d x

Substituindo na integral:

∫ u 4 1 + u 2 - d u

Jogando o sinal para fora da integral:

- ∫ u 4 1 + u 2 d u

Agora ficou legal de integrar, né? Mas antes, vamos multiplicar cada termo ali dentro:

- ∫ ( u 4 + u 6 ) d u

Beleza, agora integrando:

- ∫ u 4 + u 6 d u = - u 4 + 1 4 + 1 + u 6 + 1 6 + 1 + C

= - u 5 5 + u 7 7 + C

Onde C é uma constante de integração, que a gente sempre adiciona quando calcula uma integral indefinida (sem limites de integração).

Certo, agora só voltarmos pra nossa variável original, que é o x . Então, vamos substituir u = c o t g   x no resultado agora:

- c o t g 5 x 5 + c o t g 7 x 7 + C

Que também pode ser escrito como:

- 1 5 c o t g 5 x - 1 7 c o t g 7 x + C

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- 1 5 c o t g 5 x - 1 7 c o t g 7 x + C

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