Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP, Cálculo 1, P3 - 2013, Questão 1c

Calcule a integral

x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x

Passo 1

Até se a gente separar a integral em duas:

x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = x x 2 - 4 x + 5 2 d x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x

Parece difícil de resolver. O problema é esse denominador complicado. Então vamos dar uma mexida nele, assim:

x 2 - 4 x + 5 2 = x - 2 2 + 1 2

Essa expressão lembra de leve essa identidade trigonométrica aqui:

sec 2 x = tg 2 x + 1

E afinal, pra resolver uma integral vale tudo. Então, apesar de não ter nenhuma raiz, vamos apelar pra uma substituição trigonométrica:

x - 2 = tg θ x = tg θ + 2

d x = sec 2 θ d θ

Assim,

x 2 - 4 x + 5 2 = tg 2 θ + 1 2 = sec 2 θ 2 = sec 4 θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Daí a nossa integral vai ficar:

x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = tg θ + 2 + 1 sec 4 θ sec 2 θ d θ

= tg θ + 3 sec 2 θ d θ = tg θ + 3 cos 2 θ d θ

= tg θ cos 2 θ d θ + 3 cos 2 θ d θ

Como

tg θ cos 2 θ = sen θ cos θ cos 2 θ = sen θ cos θ

Isso vai dar:

sen θ cos θ d θ + 3 cos 2 θ d θ

Passo 3

Vamos uma integral de cada vez, começando por essa aqui:

sen θ cos θ d θ

Ela sai tranquilamente com uma substituição simples

u = sen θ d u = cos θ d θ

Daí:

sen θ cos θ d θ = u d u

= u 2 2 + C = sen 2 θ 2 + C

Passo 4

Pra calcular a outra integral

3 cos 2 θ d θ

Temos que lembrar da identidade trigonométrica

cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

Então

3 cos 2 θ d θ = 3 2 1 + cos 2 θ d θ

= 3 2 θ + sen 2 θ 2 + C = 3 2 θ + 3 4 sen 2 θ + C

Passo 5

Juntando tudo que achamos:

x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = sen θ cos θ d θ + 3 cos 2 θ d θ

= sen 2 θ 2 + 3 2 θ + 3 4 sen 2 θ + C

Ainda temos que voltar pra variável x . Lembrando que:

x - 2 = tg θ

A partir disso montamos o nosso triângulo retângulo da substituição trigonométrica:

Passo 6

Pelo triângulo, podemos ver que

sen θ = x - 2 x 2 - 4 x + 5

cos θ = 1 x 2 - 4 x + 5

Daí temos que

sen 2 θ = x - 2 2 x 2 - 4 x + 5

sen 2 θ = 2 sen θ cos θ = 2 x - 2 x 2 - 4 x + 5

Ah, e também:

x - 2 = tg θ θ = arctg x - 2

Passo 7

Pronto! Agora podemos escrever o resultado em função de x :

sen 2 θ 2 + 3 2 θ + 3 4 sen 2 θ + C

= x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg x - 2 + 3 4 . 2 x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

= x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg x - 2 + 3 2 . x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

Resposta

x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg x - 2 + 3 2 . x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

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