Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Calcule a integral

∫ x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x

Passo 1

Até se a gente separar a integral em duas:

∫ x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = ∫ x x 2 - 4 x + 5 2 d x + ∫ 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x

Parece difícil de resolver. O problema é esse denominador complicado. Então vamos dar uma mexida nele, assim:

x 2 - 4 x + 5 2 = x - 2 2 + 1 2

Essa expressão lembra de leve essa identidade trigonométrica aqui:

sec 2 ⁡ x = tg 2 ⁡ x + 1

E afinal, pra resolver uma integral vale tudo. Então, apesar de não ter nenhuma raiz, vamos apelar pra uma substituição trigonométrica:

x - 2 = tg ⁡ θ → x = tg ⁡ θ + 2

→ d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Assim,

x 2 - 4 x + 5 2 = tg 2 ⁡ θ + 1 2 = sec 2 ⁡ θ 2 = sec 4 ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Daí a nossa integral vai ficar:

∫ x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = ∫ tg ⁡ θ + 2 + 1 sec 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ tg ⁡ θ + 3 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg ⁡ θ + 3 cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ tg ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ + 3 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Como

tg ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Isso vai dar:

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + 3 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos uma integral de cada vez, começando por essa aqui:

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Ela sai tranquilamente com uma substituição simples

u = sen ⁡ θ → d u = cos ⁡ θ d θ

Daí:

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ u d u

= u 2 2 + C = sen 2 ⁡ θ 2 + C

Passo 4

Pra calcular a outra integral

3 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Temos que lembrar da identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Então

3 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 3 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 3 2 θ + sen ⁡ 2 θ 2 + C = 3 2 θ + 3 4 sen ⁡ 2 θ + C

Passo 5

Juntando tudo que achamos:

∫ x + 1 x 2 - 4 x + 5 2 d x = ∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + 3 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

= sen 2 ⁡ θ 2 + 3 2 θ + 3 4 sen ⁡ 2 θ + C

Ainda temos que voltar pra variável x . Lembrando que:

x - 2 = tg ⁡ θ

A partir disso montamos o nosso triângulo retângulo da substituição trigonométrica:

Passo 6

Pelo triângulo, podemos ver que

sen ⁡ θ = x - 2 x 2 - 4 x + 5

cos ⁡ θ = 1 x 2 - 4 x + 5

Daí temos que

sen 2 ⁡ θ = x - 2 2 x 2 - 4 x + 5

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 x - 2 x 2 - 4 x + 5

Ah, e também:

x - 2 = tg ⁡ θ ⇒ θ = arctg ⁡ x - 2

Passo 7

Pronto! Agora podemos escrever o resultado em função de x :

sen 2 ⁡ θ 2 + 3 2 θ + 3 4 sen ⁡ 2 θ + C

= x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg ⁡ x - 2 + 3 4 . 2 x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

= x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg ⁡ x - 2 + 3 2 . x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

Resposta

x - 2 2 2 x 2 - 4 x + 5 + 3 2 arctg ⁡ x - 2 + 3 2 . x - 2 x 2 - 4 x + 5 + C

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