Calcule a integral.

∫ 1 - 4 x 2 d x

Passo 1

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que 2 x = sen ⁡ θ , e θ varia no intervalos - π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Assim, x = 1 2 sen ⁡ θ , e se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 1 2 cos ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor do nosso cateto 1 - 4 x 2 por meio da substituição de x , temos:

1 - 4 x 2 = 1 - ( 2 x ) ² = cos ⁡ θ

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ 1 - 4 x 2 d x = ∫ cos ⁡ θ 1 2 cos ⁡ θ d θ = 1 4 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ = 1 4 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ + C

= 1 4 sen - 1 ⁡ 2 x + 2 x 1 - 4 x 2 + C    

Resposta

1 4 sen - 1 ⁡ 2 x + 2 x 1 - 4 x 2 + C     .

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