Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Calcule a integral abaixo:

c) ∫ 0 2 1 4 + x 2   d x

Passo 1

Realizar uma substituição trigonométrica

Eita, raiz dentro de integral! Complicou! Mas calma, geralmente quando isso acontece, é porque precisamos de uma substituição trigonométrica. Da uma olhada:

s i n 2 θ +   c o s 2 θ = 1

Dividindo tudo por c o s 2 θ , vamos ter:

t a n 2 θ +   1 = 1 c o s 2 θ

Multiplicando tudo por 4 , temos:

4 t a n 2 θ   + 4 = 4 c o s 2 θ

E fazendo a raiz dos dois lados:

4 t a n 2 θ   + 4 = 2 c o s θ

Opa, mas da uma olhada no denominador da integral: x 2 + 4 . Ta um pouco parecida com o resultado anterior né? Se fizermos:

x 2 = 4 t a n 2 θ

x = 2 t a n θ

d x d θ = 2   s e c 2 θ = 2 c o s 2 θ

d x = 2 d θ c o s 2 θ

Vamos ter que:

x 2 + 4 = 2 c o s θ

Opa, só realizar a substituição então:

∫ 1 4 + x 2 d x =   ∫ 1 2 c o s θ 2 d θ c o s 2 θ = ∫ 1 c o s θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral e aplicar os limites de integração

Agora a integral ficou mel na chupeta de resolver, não é mesmo? A gente resolve, aplica os limites e parte pro abraço. Vamos lá então:

∫ 1 c o s θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Mas se

x = 2 t a n θ

x 2 + 4 = 2 c o s θ

Então:

t a n θ = x 2

sec ⁡ θ = x 2 + 4 2

E a integral fica:

∫ 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 c o s θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ x 2 + x 2 + 4 2

E aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 1 4 + x 2   d x =   ln ⁡ x 2 + x 2 + 4 2 x = 0 x = 2

∫ 0 2 1 4 + x 2   d x =   ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1

∫ 0 2 1 4 + x 2   d x = ln ⁡ 1 + 2

Resposta

∫ 0 2 1 4 + x 2   d x = ln ⁡ 1 + 2

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