Calcule as primitivas abaixo:

b)

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Pra fechar essa questão sobre integrais, temos aí uma que é a cara da integral da substituição trigonométrica...

Nesses casos, devemos chamar x = s e n u

E assim, ficamos com:

d x d u = cos ⁡ u

d x = cos ⁡ u d u

Com isso, podemos substituir na integral:

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x = ∫ cos ⁡ u d u s e n 2 u 1 - s e n 2 u

Passo 2

O lance agora é lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Portanto,

1 - s e n 2 u = cos 2 ⁡ u

Substituindo na integral, teremos:

∫ cos ⁡ u d u s e n 2 u cos 2 ⁡ u = ∫ cos ⁡ u d u s e n 2 u cos ⁡ u

E repara que dá pra cortar o cosseno, e ficar apenas com:

∫ d u s e n 2 u

Tá, aqui não vai ter jeito, você vai precisar lembrar que:

c o t g ' u = - c o s s e c 2 u = - 1 s e n 2 u

Ou seja, a derivada da cotangente é igual a menos a cossecante ao quadrado, e a cossecante nada mais é que 1/sen.

Portanto,

- c o t g ' u = 1 s e n 2 u

Dessa forma, essa integral resulta em:

∫ d u s e n 2 u = - c o t g u + C

Agora basta desfazer a substituição:

x = s e n u → u = A r c s e n x

Logo,

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x = - c o t g A r c s e n x + C

Passo 3

Para fechar de vez a questão, vamos abrir essa cotangente...

- cos ⁡ A r c s e n x s e n A r c s e n x + C

Seno e Arcosseno são funções inversas, então quando você coloca uma dentro da outra, vc tem como resultado o valor de x .

- cos ⁡ A r c s e n x x + C

Por fim, podemos lembrar daquela relação trigonométrica básica, só que usando arcseno no argumento.

cos 2 ⁡ A r c s e n x + s e n 2 A r c s e n x = 1

E já vimos que s e n A r c s e n x = x , portanto:

cos 2 ⁡ A r c s e n x + x 2 = 1

cos 2 ⁡ A r c s e n x = 1 - x 2

cos ⁡ A r c s e n x = 1 - x 2

Fechou, agora é só substituir e partir pro abraço!

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x = - cos ⁡ A r c s e n x x + C

= - 1 - x 2 x + C

Resposta

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 x + C

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