Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

1b) Calcule as primitivas abaixo:

∫ x 3 x 2 + 1 d x

Passo 1

Veja bem, temos uma raiz de um polinômio de segundo grau no denominador. Muitas vezes isso cheira à substituição trigonométrica mas como temos um termo ao cubo em cima, uma ideia melhor seria fazer a substituição simples:

u = x 2 + 1

d u d x = 2 x → d x = d u 2 x

Ficaremos com:

∫ x 3 x 2 + 1 d x = ∫ x 3 u d u 2 x = ∫ x 2 2 u d u

É, ainda não foi. Sobrou um x 2 dentro da integral quando mudamos a variável. Mas não se preocupe, tirar ele da raíz é tranquilo, porque se:

u = x 2 + 1

Então:

x 2 = u - 1

A integral fica então:

∫ x 3 x 2 + 1 d x = ∫ u - 1 2 u d u

Dividindo essa integral em dois, temos:

∫ u - 1 2 u d u = ∫ u 2 u d u - ∫ 1 2 u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora resolver então a primeira integral. Se:

u = u 1 2

Podemos entender a primeira integral como:

∫ u 2 u d u = 1 2 ∫ u u 1 2 d u = 1 2 ∫ u 1 - 1 2 d u = 1 2 ∫ u 1 2 d u

Agora é bem tranquilo da gente resolver porque conhecemos a integral de uma potência de u . Ficamos com:

1 2 ∫ u 1 2 d u = 1 2 2 3 u 3 2 = u 3 2 3

Pra segunda integral, a ideia é a mesma, beleza? Reescrevendo ela então, ficamos com:

∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u 1 2 d u = 1 2 ∫ u - 1 2 d u

E resolvendo:

1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 2 1 u 1 2 = u 1 2

Show, fechamos a integração!

∫ u - 1 2 u d u = u 3 2 3 - u 1 2

Voltando agora pra variável original, temos:

u = x 2 + 1

u 3 2 3 - u 1 2 = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2

E tá respondida a questão! Lembrando sempre da constante de integração, fechamos:

∫ x 3 x 2 + 1 d x = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2 + k

Passo 3

Se quiséssemos usar a substituição trigonométrica, teríamos que usar a substituição

x = tan ⁡ u

Porque veja bem, se fizermos essa substituição, teremos no denominador da função original:

x 2 + 1 = tan 2 ⁡ u + 1

E olha só olha lá! Dentro da raiz temos parte de uma identidade trigonométrica:

tan 2 ⁡ u + 1 = sec 2 ⁡ x

Beleza, então confirmada essa substituição, reescrevemos a integral para:

d x d u = sec 2 ⁡ u → d x = sec 2 ⁡ u   d u

∫ x 3 x 2 + 1 d x = ∫ tan 3 ⁡ u sec 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u   d u = ∫ tan 3 ⁡ u sec ⁡ u   d u

Essa nova integral pode ganhar uma nova substituição, uma vez que se fizermos:

z = sec ⁡ u

Teremos:

d z d u = tan ⁡ u sec ⁡ u

d z = tan ⁡ u sec ⁡ u   d u

Reescrevendo a integral:

∫ tan 3 ⁡ u sec ⁡ u   d u = ∫ tan 2 ⁡ u tan ⁡ u sec ⁡ u   d u =

= ∫ sec 2 ⁡ x - 1 tan ⁡ u sec ⁡ u   d u = ∫ z 2 - 1   d z

Resolvendo a integral, ficamos com:

∫ z 2 - 1   d z = z 3 3 - z

Voltando à variável u , temos:

z 3 3 - z = sec 3 ⁡ u 3 - sec ⁡ u

Seja:

tan 2 ⁡ u + 1 = sec 2 ⁡ x

x 2 + 1 = sec 2 ⁡ x

Então reescrevemos o resultado:

sec 2 ⁡ u 3 2 3 - sec 2 ⁡ u 1 2 = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2

Viu só? Mesmo resultado!

Resposta

∫ x 3 x 2 + 1 d x = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2 + k

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas