Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2014.2, Questão 1 I b

Calcule as seguintes integrais:

b d x x 2 x 2 + 1

Passo 1

Essa é a cara de uma integral por substituição trigonométrica! Pelo caso da raiz (temos ali algo como a 2 + x 2 ) , vamos colocar x como tangente, assim:

x = a tg ( θ ) d x = a sec 2 ( θ ) d θ         ;         a = 1

Vamos levar isso para integral então:

d x x 2 x 2 + 1 = sec 2 ( θ ) d θ tg θ 2 tg θ 2 + 1

= sec 2 ( θ ) d θ tg 2 θ sec 2 θ = sec θ d θ tg 2 θ

Vamos trocar a tangente e a secante por senos e cossenos, fica assim:

sec θ d θ tg 2 θ = 1 cos θ d θ sen θ cos θ 2

= d θ sen 2 θ cos ( θ ) = cos θ sen 2 θ d θ

Daqui basta fazer uma substituição e matar a integral:

u = sen ( θ ) d u = cos ( θ ) d θ

cos θ sen 2 θ d θ = d u   ( u - 2 ) = - u - 1

= - 1 sen θ = - cossec ( θ )

Agora temos que voltar para x . Para isso é só lançar a substituição inicial naquele triângulo auxiliar, como esse aqui, que nasce a partir de tg ( θ ) = x a = x 1

Nessa configuração, a cossecante é dada pela hipotenusa sobre o cateto oposto a θ , ou seja:

- cossec θ = - x 2 + 1 x + C

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Resposta

d x x 2 x 2 + 1 = - x 2 + 1 x + C

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