Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Integração por Substituição Trigonométrica

Calcule as seguintes integrais:

b ∫ d x x 2 x 2 + 1

Passo 1

Essa é a cara de uma integral por substituição trigonométrica! Pelo caso da raiz (temos ali algo como a 2 + x 2 ) , vamos colocar x como tangente, assim:

x = a tg ⁡ ( θ ) → d x = a sec 2 ⁡ ( θ ) d θ         ;         a = 1

Vamos levar isso para integral então:

∫ d x x 2 x 2 + 1 = ∫ sec 2 ⁡ ( θ ) d θ tg ⁡ θ 2 tg ⁡ θ 2 + 1

= ∫ sec 2 ⁡ ( θ ) d θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ d θ tg 2 ⁡ θ

Vamos trocar a tangente e a secante por senos e cossenos, fica assim:

∫ sec ⁡ θ d θ tg 2 ⁡ θ = ∫ 1 cos ⁡ θ d θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2

= ∫ d θ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ ( θ ) = ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Daqui basta fazer uma substituição e matar a integral:

u = sen ⁡ ( θ ) → d u = cos ⁡ ( θ ) d θ

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ d u   ( u - 2 ) = - u - 1

= - 1 sen ⁡ θ = - cossec ⁡ ( θ )

Agora temos que voltar para x . Para isso é só lançar a substituição inicial naquele triângulo auxiliar, como esse aqui, que nasce a partir de tg ⁡ ( θ ) = x a = x 1

Nessa configuração, a cossecante é dada pela hipotenusa sobre o cateto oposto a θ , ou seja:

- cossec ⁡ θ = - x 2 + 1 x + C

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Resposta

∫ d x x 2 x 2 + 1 = - x 2 + 1 x + C

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