Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica

Calcule as seguintes integrais:

b )   ∫ x 5 4 - x 2 3 d x

Passo 1

Raiz no denominador já me faz lembrar de substituição trigonométrica, pode ser? A substituição do caso é a do seno:

x = a sen ⁡ ( θ ) = 2 sen ⁡ ( θ )   ; d x = 2 cos ⁡ ( θ ) d θ

∫ x 5 4 - x 2 3 d x = ∫ 2 sen ⁡ θ 5 4 - 2 sen ⁡ θ 2 3 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 2 sen ⁡ θ 5 2 cos ⁡ θ 3 2 cos ⁡ θ d θ = 2 3 ∫ sen ⁡ θ 5 cos ⁡ θ 2 d θ

= 2 3 ∫ sen ⁡ θ 4 cos ⁡ θ 2 ( sen ⁡ θ d θ ) = 2 3 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ( sen ⁡ θ d θ )

2 3 ∫ 1 - 2 cos 2 ⁡ θ + cos 4 ⁡ θ cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ d θ

= 2 3 ∫ 1 cos ⁡ θ 2 - 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + cos 4 ⁡ θ cos ⁡ θ 2 ( sen ⁡ θ d θ )

= 2 3 ∫ cos - 2 ⁡ ( θ ) - 2 + cos 2 ⁡ ( θ ) ( sen ⁡ θ d θ )

u = cos ⁡ ( θ )   ; d u = - sen ⁡ ( θ )

= 2 3 ∫ - u - 2 + 2 - u 2 ( d u )

= 2 3 1 u + 2 u - u 3 3 = 2 3 1 cos ⁡ ( θ ) + 2 cos ⁡ ( θ ) - cos ⁡ ( θ ) 3 3

Bom, eu chamei aqui x = 2 sen ⁡ ( θ ) . Se cos 2 ⁡ ( θ ) + sen 2 ⁡ ( θ ) = 1 , então posso dizer que:

cos ⁡ ( θ ) = 1 - x 2 2 = 4 - x 2 2

2 3 1 4 - x 2 2 + 2 4 - x 2 2 - 4 - x 2 2 3 3

= 16 4 - x 2 + 8 4 - x 2 - 4 - x 2 4 - x 2 3 + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

∫ x 5 4 - x 2 3 d x = 16 4 - x 2 + 8 4 - x 2 - 4 - x 2 4 - x 2 3 + C

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