Calcule as seguintes integrais:

c) ∫ 1 - cos ⁡ x       d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Deve ter chegado aqui cansado de tentar fazer essa integral. Relaxa!! Eu particularmente já estava assim:

Mas saca só como um passo só vai te ajudar muito.

Nessa integral antes temos que fazer uma substituição que muda muita coisa. Veja!!

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sin 2 ⁡ x

cos ⁡ a = 1 - 2 sin 2 ⁡ a 2

1 - cos ⁡ a = 2 sin 2 ⁡ a 2

A substituição de a e x não diferencia em nada agora, só nos ilustra que x = a 2 . Assim:

∫ 1 - cos ⁡ x   d x = ∫ 2 sin 2 ⁡ x 2   d x

Isso facilita muita coisa, né?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos:

∫ 2 sin 2 ⁡ x 2   d x = ∫ 2   sin ⁡ x 2   d x

Passo 3

Sabemos que a integral de s i n ⁡ ( a 2 ) é - 2 a cos ⁡ a 2 . Assim:

∫ 2   sin ⁡ x 2   d x = - 2   2 cos ⁡ x 2 + C

Não podemos esquecer da bendita constante

Resumindo:

∫ 1 - cos ⁡ x   d x

Substituindo 1 - cos ⁡ x pela equação do cosseno de meio ângulo:

∫ 2   sin ⁡ x 2   d x

Ao final:

∫ 1 - cos ⁡ x   d x = - 2   2 cos ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ 1 - cos ⁡ x   d x = - 2   2 cos ⁡ x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x