Calcule:

e )   ∫ 0 π sin 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Oiiie, tudo bem? Mais uma alternativa, bora!

Essa questão não tem muito o que discutir, vamos dizer assim, sempre que ver a integral de sin 2 ⁡ ( x ) (ou cos 2 ⁡ ( x ) ), você vai substituir o integrando em termos da relação de ângulo duplo, em nosso caso relação é:

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x )

Bora lá!

Passo 2

O nosso integrando fica da seguinte maneira:

∫ 0 π sin 2 ⁡ ( x ) d x = 1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ 0 π d x - 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos lembrar algumas integrais, e a questão já era!

Passo 3

Temos que:

∫ d x = x + C

E, também que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C

Precisamos usar ambas em nossa integral, mas lembrando de avaliar nos limites de integração! Bora lá!

Passo 4

Temos que:

1 2 ∫ 0 π d x - 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 2 x d x = 1 2 x 0 π - 1 2 1 2 sin ⁡ ( 2 x ) 0 π

E como avaliar nos limites significa avaliar no ponto final menos o inicial, temos:

1 2 x 0 π - 1 2 1 2 sin ⁡ 2 x 0 π = 1 2 π - 0 - 1 4 sin ⁡ 2 π - sin ⁡ 0 = 1 2 π - 1 4 0 - 0 = π 2

A alternativa foi isso, te vejo na próxima! Inté!

Resposta

∫ 0 π sin 2 ⁡ ( x ) d x = π 2

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