Calcule ∫ 1 1 + sin ⁡ x d x

Passo 1

Para calcular a integral ∫(1/(1+sin(x))) dx, podemos usar uma substituição trigonométrica

Vamos fazer a substituição

u   =   t a n ( x / 2 )

Então, podemos expressar s i n ⁡ ( x ) e dx em termos de u:

s i n ( x )   =   2 u   /   ( 1   +   u 2 )

d x   =   2   d u   /   ( 1   +   u 2 )

Agora, podemos reescrever a integral com estas substituições:

∫ 1 1 + s i n x   d x   =   ∫ 1 1   + 2 u 1   +   u 2   *   2 d u 1   +   u 2

Simplificando a integral

∫ 2 d u 1   +   u 2   +   2 u  

Passo 2

Agora, iremos combinar os termos no denominador

∫ 2 d u u 2 +   2 u   +   1

Iremos fatorar o denominador

∫ 2 d u u   +   1 2

Podemos integrar

∫ 2 d u u   +   1 2   =   - 2 u   +   1   +   C

Finalmente, iremos substituir

- 2 t a n x 2   +   1   +   C

Resposta

- 2 t a n x 2   +   1   +   C

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