Calcule:

f )   ∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Quase acabando esta questão ein? Apenas mais algumas alternativas!! Bora Bora!

Para resolver esta aqui é interessante lembrarmos que:

cos 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 - sin 2 ⁡ ( 2 x )

De forma que a integral fica como:

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ 2 x 1 - sin 2 ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ 0 π / 4 sin 4 ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos expandir isso um pouquinho!

Passo 2

Para resolver as integrais basta apenas lembrar do seguinte:

sin 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 2 1 - cos ⁡ ( 4 x )

Obtendo:

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ 2 x d x - ∫ 0 π 4 sin 4 ⁡ 2 x d x = →

→ = 1 2 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ ( 4 x ) 1 - cos ⁡ ( 4 x ) d x

Vamos expandir alguns termos, belezinha?

Passo 3

Temos:

1 2 ∫ 0 π 4 d x - 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π / 4 cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ ( 4 x ) d x

Cortando umas coisinhas, juntando outras e usando que:

cos 2 ⁡ ( 4 x ) = 1 2 1 + cos ⁡ ( 8 x )

Temos:

1 4 ∫ 0 π 4 d x - 1 8 ∫ 0 π 4 d x - 1 8 ∫ 0 π / 4 cos ⁡ ( 8 x ) d x

Vamos relembrar estas integrais! Belezinha?

Passo 4

Temos que:

∫ a b d x = x ​ a b = b - a

E também que:

∫ a b cos ⁡ ( c x ) d x = cos ⁡ ( c x ) c ​ a b = 1 c cos ⁡ ( c b ) - cos ⁡ c a

Vamos usar isso em nossas integrais! Saca só!

Passo 5

Temos que:

1 4 ∫ 0 π 4 d x - 1 8 ∫ 0 π 4 d x - 1 8 ∫ 0 π 4 cos ⁡ 8 x d x = →

→ = 1 4 π 4 - 0 - 1 8 π 4 - 0 - 1 8 sin ⁡ 2 π 8 - sin ⁡ 0 8 = →

→ = 1 16 π - 1 32 π = π 32

Aqui eu usei que sin ⁡ ( n π ) = 0 . A alternativa foi isso! Vamos para a próxima!

Resposta

∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = π 32

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x